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題目列表(包括答案和解析)

如圖,在面積為4的正方形ABCD中,連接各邊中點(diǎn)得正方形A1B1C1D1,此時(shí)正方形A1B1C1D1的面積記作a1;再連接正方形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)得正方形A2B2C2D2,此時(shí)正方形A2B2C2D2的面積記作a2;…;如此繼續(xù)下去,得到一個(gè)數(shù)列{an}.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令bn=n•2n+1,cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn

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中,滿足,邊上的一點(diǎn).

(Ⅰ)若,求向量與向量夾角的正弦值;

(Ⅱ)若,=m  (m為正常數(shù)) 且邊上的三等分點(diǎn).,求值;

(Ⅲ)若的最小值。

【解析】第一問(wèn)中,利用向量的數(shù)量積設(shè)向量與向量的夾角為,則

=,得,又,則為所求

第二問(wèn)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912192026514838/SYS201207091220070463574796_ST.files/image008.png">,=m所以

(1)當(dāng)時(shí),則= 

(2)當(dāng)時(shí),則=

第三問(wèn)中,解:設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912192026514838/SYS201207091220070463574796_ST.files/image029.png">;

所以于是

從而

運(yùn)用三角函數(shù)求解。

(Ⅰ)解:設(shè)向量與向量的夾角為,則

=,得,又,則為所求……………2

(Ⅱ)解:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912192026514838/SYS201207091220070463574796_ST.files/image008.png">,=m所以

(1)當(dāng)時(shí),則=;-2分

(2)當(dāng)時(shí),則=--2分

(Ⅲ)解:設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912192026514838/SYS201207091220070463574796_ST.files/image029.png">

所以于是

從而---2

==

=…………………………………2

,,則函數(shù),在遞減,在上遞增,所以從而當(dāng)時(shí),

 

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計(jì)算,可以采用以下方法:

構(gòu)造恒等式,兩邊對(duì)x求導(dǎo),

,在上式中令,得

.類比上述計(jì)算方法,

計(jì)算              .

 

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計(jì)算,可以采用以下方法:構(gòu)造等式:
,兩邊對(duì)x求導(dǎo),得,在上式中令,得.類比上述計(jì)算方法,計(jì)算            

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已知數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式
(1)若數(shù)學(xué)公式,求x的值;
(2)若數(shù)學(xué)公式,求f(x)的最大值,并且求使f(x)取得最大值的x值;
(3)令數(shù)學(xué)公式,判斷函數(shù)g(x)的奇偶性,并說(shuō)明理由.

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1.(1)因?yàn)?sub>,所以

      又是圓O的直徑,所以

      又因?yàn)?sub>(弦切角等于同弧所對(duì)圓周角)

      所以所以

      又因?yàn)?sub>,所以相似

      所以,即

  (2)因?yàn)?sub>,所以,

       因?yàn)?sub>,所以

       由(1)知:。所以

       所以,即圓的直徑

       又因?yàn)?sub>,即

     解得

2.依題設(shè)有:

 令,則

 

 

3.將極坐標(biāo)系內(nèi)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系內(nèi)的問(wèn)題

  點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為

  故是以為斜邊的等腰直角三角形,

  進(jìn)而易知圓心為,半徑為,圓的直角坐標(biāo)方程為

      ,即

  將代入上述方程,得

  ,即

4.假設(shè),因?yàn)?sub>,所以。

又由,則,

所以,這與題設(shè)矛盾

又若,這與矛盾

綜上可知,必有成立

同理可證也成立

命題成立

5. 解:由a1=S1,k=.下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

1°.當(dāng)n=1時(shí),命題顯然成立;

2°.假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí),命題成立,

即1?2?3+2?3?4+……+ k(k+1)(k+2)= k(k+1)(k+2)(k+3),

則n=k+1時(shí),1?2?3+2?3?4+……+ k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)= k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)

=( k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)

即命題對(duì)n=k+1.成立

由1°, 2°,命題對(duì)任意的正整數(shù)n成立.

6.(1)因?yàn)?sub>,,

      ,所以

       故事件A與B不獨(dú)立。

   (2)因?yàn)?sub>

      

       所以

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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