(1)試問數(shù)列是否是等差數(shù)列?并求的通項公式. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

(14分)已知等差數(shù)列滿足;又?jǐn)?shù)列滿足+…+,其中是首項為1,公比為的等比數(shù)列的前項和。

   (I)求的表達(dá)式;

   (Ⅱ)若,試問數(shù)列中是否存在整數(shù),使得對任意的正整數(shù)都有成立?并證明你的結(jié)論。

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已知等差數(shù)列{an}滿足a3+a4=9,a2+a6=10;又?jǐn)?shù)列{bn}滿足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=Sn,其中Sn是首項為1,公比為數(shù)學(xué)公式的等比數(shù)列的前n項和.
(1)求an的表達(dá)式;
(2)若cn=-anbn,試問數(shù)列{cn}中是否存在整數(shù)k,使得對任意的正整數(shù)n都有cn≤ck成立?并證明你的結(jié)論.

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已知等差數(shù)列{an}滿足a3+a4=9,a2+a6=10;又?jǐn)?shù)列{bn}滿足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=Sn,其中Sn是首項為1,公比為
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的等比數(shù)列的前n項和.
(1)求an的表達(dá)式;
(2)若cn=-anbn,試問數(shù)列{cn}中是否存在整數(shù)k,使得對任意的正整數(shù)n都有cn≤ck成立?并證明你的結(jié)論.

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已知等差數(shù)列{an}滿足a3+a4=9,a2+a6=10;又?jǐn)?shù)列{bn}滿足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=Sn,其中Sn是首項為1,公比為的等比數(shù)列的前n項和.
(1)求an的表達(dá)式;
(2)若cn=-anbn,試問數(shù)列{cn}中是否存在整數(shù)k,使得對任意的正整數(shù)n都有cn≤ck成立?并證明你的結(jié)論.

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設(shè)數(shù)列{an}(n=1,2,…)是等差數(shù)列,且公差為d,若數(shù)列{an}中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項,則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.
(1)若a1=4,d=2,判斷該數(shù)列是否為“封閉數(shù)列”,并說明理由?
(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,若公差d=1,a1>0,試問:是否存在這樣的“封閉數(shù)列”,使
lim
n→∞
(
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
)=
11
9
;若存在,求{an}的通項公式,若不存在,說明理由;
(3)試問:數(shù)列{an}為“封閉數(shù)列”的充要條件是什么?給出你的結(jié)論并加以證明.

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一、選擇題

題號

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答案

C

A

B

D

D

C

D

C

C

D

B

C

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  • 1,3,5

    三、解答題

    17.解:(1)依題意由g(x)得

           f(x)-=sin[2(x+)+]…得f(x)=-sin(2x+)+

           又f(x)=acos(x+)+b=-sin(2x+)++b           比較得a=1,b=0…

       (2)(x)=g(x)-f(x)=sin(2x+)-cos(2x+)-

           =sin(2x+)-…(9分)              ∴2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)

                  kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)∴(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-,kπ+](k∈Z)

           ………………(12分)

    18.解:(1)由于C(n)在各段上都是單調(diào)增函數(shù),因此在每一段上不存在買多于n本書比恰好買n本書所花錢少的問題,一定是在各段分界點附近因單價的差別造成買多于n本書比恰好買n本書所花錢少的現(xiàn)象. C(25)=1125=275,C(23)=1223=276,∴C(25)<C(23).1分

    C(24)=1224=288,∴ C(25)<C(24)…………………..…………..2分

    C(49)=4910=490,C(48)=1148=528,∴ C(49)<C(48)

    C(47)=1147=517,∴ C(49)<C(47)

    C(46)=1146=506,∴ C(49)<C(46)

    C(45)=1145=495,∴ C(49)<C(45)……….. ……….………..……..5分

    ∴這樣的n有23,24,45,46,47,48   …….………..……….. ……………6分

    (2)設(shè)甲買n本書,則乙買60-n本,且n30,n(不妨設(shè)甲買的書少于或等于乙買的書)

    ①當(dāng)1n11時,4960-n59

    出版公司賺得錢數(shù)…….. …7分

    ②當(dāng)1224時,3660-48,

    出版公司賺得錢數(shù)

    ③當(dāng)2530時,3060-35,

    出版公司賺得錢數(shù)……..……….. ………9分

    ∴當(dāng)時,  當(dāng)時,

    當(dāng)時,

    故出版公司至少能賺302元,最多能賺384元…….. .………. .……12分

    19.解: (1)D為A1C1的中點. …………………………………2分

    8J43  連結(jié)A1B與AB1交于E,

    則E為A1B的中點,DE為平面AB1D與平面A1BC1的交線,

    ∵BC1∥平面AB1D

    ∴BC1∥DE,∴D為A1C1的中點. ……………………………6分

    (2) 解法一:過D作DF⊥A1B1于F,

    由正三棱柱的性質(zhì),AA1⊥DF,∴DF⊥平面AB1,

    連結(jié)EF、DE,在正三角形A1B1C1中,

    ∵D是A1C1的中點,∴B1D=A1B1=a,…………………7分

    又在直角三角形AA1D中,∵AD==a,∴AD=B1D. ……………8分

    ∴DE⊥AB1,∴可得EF⊥AB1,則∠DEF為二面角A1-AB1-D的平面角. ……10分

    可求得DF=a,∵△B1FE∽△B1AA1,得EF=a,∴∠DEF=,即為所求. ……12分

    20.解:由題意得:①…

    ∵{an}、{bn}都是各項均為正的數(shù)列, 由②得

    代入①得……4分 

    ………7分 ∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列

    由a1=1,b1=及①②兩式得……………12

    21.解:(1)由條件得M(0,-),F(xiàn)(0,).設(shè)直線AB的方程為

           y=kx+,A(,),B(,).

           則,Q().

           由.

           ∴由韋達(dá)定理得+=2pk,?=-

           從而有= +=k(+)+p=………………(4分)

          

                                                    

                  的取值范圍是.……………………………………………(6分)

       (2)拋物線方程可化為,求導(dǎo)得.

          

           ∴切線NA的方程為:y-.

           切線NB的方程為:………………………………………(8分)

           由解得∴N(

           從而可知N點Q點的橫坐標(biāo)相同但縱坐標(biāo)不同.

           ∴NQ∥OF.即…………………………………………………………(9分)

           又由(Ⅰ)知+=2pk,?=-p  ∴N(pk,-

           而M(0,-)  ∴

           又. ∴.………………………………………………(12分)

    22.解:(1)

           由k≥-1,得3x2-2ax+1≥0,即a≤恒成立…………(2分)

           ∴a≤(3x+min………………………………………………………………(4分)

           ∵當(dāng)x∈(0,1)時,3x+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號.

           ∴(3x+min =.故a的取值范圍是(-∞,].……………………(6分)

       (2)設(shè)g(x)=f(x)+a(x2-3x)=x3-3ax,x∈[-1,1]則

           g′(x)=3x2-3a=3(x2-a).………………………………………………………(8分)

       ①當(dāng)a≥1時,∴g′(x)≤0.從而g(x)在[-1,1]上是減函數(shù).

           ∴g(x)的最大值為g(-1)=3a-1.…………………………………………(9分)

       ②當(dāng)0<a<1時,g′(x)=3(x+)(x-).

           由g′(x) >0得,x>或x<-:由g′(x)< 0得,-<x<.

           ∴g(x)在[-1,-],[,1]上增函數(shù),在[-,]上減函數(shù).

           ∴g(x)的極大值為g(-)=2a.…………………………………………(10分)

           由g(-)-g(1)=2a+3a-1=(+1)?(2-1)知

           當(dāng)2-1<0,即0≤a<時,g(-)<g(1)

           ∴g(x)=g(1)=1-3a.…………………………………………(11分)

           當(dāng)2-1≥0,即<a<1時,g(-)≥g(1)

           ∴g(x)=g(-)=2a.………………………………………………(12分)

       ③當(dāng)a≤0時,g′(x)≥0,從而g(x)在[-1,1]上是增函數(shù).

           ∴g(x)=g(1)=1-3a………………………………………………………(13分)

           綜上分析,g(x) ………………………………(14分)

     


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