題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)。
(1)證明:
(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求數(shù)列 的前項(xiàng)和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)設(shè)數(shù)列滿足:,設(shè),
若(2)中的滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù),恒成立,
試求的最大值。
(本小題滿分14分)已知,點(diǎn)在軸上,點(diǎn)在軸的正半軸,點(diǎn)在直線上,且滿足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)過(guò)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn),又過(guò)、作軌跡的切線、,當(dāng),求直線的方程.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍。(本小題滿分14分)
已知,其中是自然常數(shù),
(1)討論時(shí), 的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求證:在(1)的條件下,;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.
(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意的正整數(shù),都有成立,記。
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(II)記,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:對(duì)任意正整數(shù)都有;
(III)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知正實(shí)數(shù)滿足:對(duì)任意正整數(shù)恒成立,求的最小值。
一.選擇題:DBBCB BCCCC
解析:1:因?yàn)?sub>=(2 -││)+ ,由選擇支知││<2,所以的實(shí)部為正數(shù),虛部為1,根據(jù)這個(gè)隱含條件,(A),(B),(C)均可篩去,所以選(D).
2:先將周期最小的選項(xiàng)(A)的周期T=代入檢驗(yàn),不成立則排除(A);再檢驗(yàn)(B)成立. 所以選(B).
3:∵∴可取代入四個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)B錯(cuò)誤,∴應(yīng)選(B).
4:“的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為
由通項(xiàng)公式Tr+1==,
令7-=-3,解得r=6,此時(shí)T7= ,故選C
5:作兩直線的圖象,從圖中可以看出:
直線的傾斜角的取值范圍應(yīng)選(B).
6:取特殊數(shù)列=,排除(A)、(C)、(D). ∴選(B).
7:如圖所示,
作
∴柱體體積
故選C.
8:由圖象可知,x=1時(shí)=1. 由此可排除(A)、(D);再由周期T=8,可排除(B).
∴應(yīng)選(C).
9:利用橢圓的定義可得故離心率故選C。
10:設(shè)某人當(dāng)月工資為1200元或1500元,則其應(yīng)納稅款分別為:4005%=20元,5005%+20010%=45元,可排除、、.故選.
二.填空題:11、2; 12、a>0且;13、;14、;15、7;
解析:11:因?yàn)榘?sub>任意一個(gè)元素的三元素集合共個(gè),所以在中,每個(gè)元素都出現(xiàn)了次,所以
,所以
。
12:由已知可畫出下圖,符合題設(shè),故a>0且。
13:設(shè)P(x,y),則當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的軌跡為,由此可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)。
又當(dāng)P在x軸上時(shí),,點(diǎn)P在y軸上時(shí),為鈍角,由此可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是:;
14.解:在平面直角坐標(biāo)系中,曲線和分別表示圓和直線,易知=
15.解: 由圓的性質(zhì)PA=PC?PB,得,PB=12,連接OA并反向延長(zhǎng)
交圓于點(diǎn)E,在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,
DB=8,J記圓的半徑為R,由于ED?DA=CD?DB
因此,(2R-2) ?2=3?8,解得R=7
三.解答題:
16.解:(Ⅰ)∵ ∴----①,----②
由①得------③
在△ABC中,由正弦定理得=,設(shè)=
則,代入③得
∵ ∴ ∴,∵ ∴ ……………………6分
(Ⅱ) ∵,由余弦定理得,--④
由②得-⑤ 由④⑤得,∴=. ……………………………12分
17.解:設(shè)該觀眾先答A題所獲獎(jiǎng)金為元,先答B(yǎng)題所獲獎(jiǎng)金為元,………………………1分
依題意可得可能取的值為:0, ,3, 的可能取值為:0,2,3
………………………2分
∵ , , ,
∴ , ………………………6分
∵ ,,
∴ ………………………10分
∵∴,即
∴該觀眾應(yīng)先回答B(yǎng)題所獲獎(jiǎng)金的期望較大. ……………………………12分
18.解:(Ⅰ)設(shè),由得,解得或,若則與矛盾,所以不合舍去。
即。---------------------------------------------------------------------------6
(Ⅱ)圓即,其圓心為C(3,-1),半徑,
∴直線OB的方程為,-----------------------------------------------------------------10
設(shè)圓心C(3,-1)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),則
解得:,則所求的圓的方程為。-----------------------------14
19.(Ⅰ)證明:∵對(duì)任意的 ①
令得 ②…………1分
令得……………………2分
∴ 由②得
∴函數(shù)為奇函數(shù)………………………………3分
(Ⅱ)證明:(1)當(dāng)n=1時(shí)等式顯然成立
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k)時(shí)等式成立,即,…………4分
則當(dāng)n=k+1時(shí)有
,由①得………………6分
∵ ∴
∴當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立。
綜(1)、(2)知對(duì)任意的,成立。………………8分
(Ⅲ)解:設(shè),因函數(shù)為奇函數(shù),結(jié)合①得
=,……………………9分
∵
又∵當(dāng)時(shí),
∴,∴
∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減…………………………………………12分
∴
由(2)的結(jié)論得,
∵,∴=-2n
∵函數(shù)為奇函數(shù),∴
∴ ,=2n!14分
20.解:(1)如圖,將側(cè)面BB
設(shè)棱柱的棱長(zhǎng)為,則B
∵CD∥AA1 ∴D為CC1的中點(diǎn),……………………………2分
在Rt△A1AB2中,由勾股定理得,
即 解得,……………………4分
∵∴ ……………………………………6分
(2)設(shè)A1B與AB1的交點(diǎn)為O,連結(jié)BB2,OD,則……………………………7分
∵平面,平面 ∴平面,
即在平面A1BD內(nèi)存在過(guò)點(diǎn)D的直線與平面ABC平行 ……………………………9分
(3)連結(jié)AD,B1D ∵≌≌
∴ ∴……………………………11分
∵ ∴平面A1ABB1 ……………………………13分
又∵平面A1BD ∴平面A1BD⊥平面A1ABB1 ……………………………………14分
21.解:(Ⅰ)…………………………………………1分
由得, ………………………………………………2分
又得 ……………………………………………………3分
(Ⅱ)k=,
對(duì)任意的,即對(duì)任意的恒成立……4分
等價(jià)于對(duì)任意的恒成立。…………………………5分
令g(x)=,h(x)=,
則, …………………………………………6分
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立,…………7分
h(x)=在(0,1)上為增函數(shù),h(x)max<2……………………………8分
……………………………………………………………………9分
(Ⅲ)設(shè)則=……10分
即,對(duì)恒成立…………………………11分
,對(duì)恒成立
即對(duì)恒成立…………………………13分
解得……………………………………………………14分
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