(A)函數(shù)有最小值 (B)函數(shù)過點(diǎn)(4.2) 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

精英家教網(wǎng)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn),其圖象過原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象是如圖所示的一條直線,則(  )
A、函數(shù)y=f(x)有最小值,且圖象的最低點(diǎn)在第四象限B、函數(shù)y=f(x)有最大值,且圖象的最高點(diǎn)在第四象限C、函數(shù)y=f(x)有最小值,且圖象的最低點(diǎn)在第一象限D、函數(shù)y=f(x)有最大值,且圖象的最高點(diǎn)在第一象限

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函數(shù)f(x)=x-
alnxx
,其中a為常數(shù).
(1)證明:對任意a∈R,函數(shù)y=f(x)圖象恒過定點(diǎn);
(2)當(dāng)a=1時,不等式f(x)+2b≤0在x∈(0,+∞)上有解,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(3)若對任意a∈[m,0)時,函數(shù)y=f(x)在定義域上恒單調(diào)遞增,求m的最小值.

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函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋鋱D象過原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象是如圖所示的一條直線,則( )

A.函數(shù)y=f(x)有最小值,且圖象的最低點(diǎn)在第四象限
B.函數(shù)y=f(x)有最大值,且圖象的最高點(diǎn)在第四象限
C.函數(shù)y=f(x)有最小值,且圖象的最低點(diǎn)在第一象限
D.函數(shù)y=f(x)有最大值,且圖象的最高點(diǎn)在第一象限

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函數(shù)f(x)=x-
alnx
x
,其中a為常數(shù).
(1)證明:對任意a∈R,函數(shù)y=f(x)圖象恒過定點(diǎn);
(2)當(dāng)a=1時,不等式f(x)+2b≤0在x∈(0,+∞)上有解,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(3)若對任意a∈[m,0)時,函數(shù)y=f(x)在定義域上恒單調(diào)遞增,求m的最小值.

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函數(shù)f(x)=asinx+bcosx+c(a,b,c為常數(shù))的圖象過原點(diǎn),且對任意x∈R總有f(x)≤f(
π
3
)
成立;
(1)若f(x)的最大值等于1,求f(x)的解析式;
(2)試比較f(
b
a
)
f(
c
a
)
的大小關(guān)系.

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一、選擇題:本大題共8個小題,每小題5分,共40分。

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

B

D

C

D

C

B

二、填空題:本大題共6個小題,每小題5分,共30分

9.60   10. 4    11.    12. 2    13.  14. -2;1

三、解答題: 本大題共6個小題,共80分。

15. (本小題共13分)已知函數(shù)

(Ⅰ)求函數(shù)的定義域;   (Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最值。

解:(Ⅰ)由題意                  

所求定義域?yàn)?nbsp; {}                             …………4分

(Ⅱ)

                           …………9分

   知   ,

所以當(dāng)時,取得最大值為;                   …………11分

當(dāng)時,取得最小值為0 。                   …………13分

16.(本小題共13分)已知數(shù)列中,,當(dāng)時,函數(shù)取得極值。(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng);(Ⅱ)在數(shù)列中,,,求的值

解:(Ⅰ)     由題意    得    ,   …………6分

  所以 數(shù)列是公比為的等比數(shù)列  所以   …………8分

(Ⅱ) 因?yàn)?nbsp;  ,                 …………10分

所以    ,,……,

疊加得           把代入得   =       …………13分

17. (本小題共14分)

如圖,在正三棱柱中,,的中點(diǎn),點(diǎn)上,。

(Ⅰ)求所成角的正弦值;                

(Ⅱ)證明;(Ⅲ) 求二面角的大小.

解:(Ⅰ)在正三棱柱中,   

,又是正△ABC邊的中點(diǎn),

         

所成角

又     sin∠=                          …………5分

(Ⅱ)證明:  依題意得   ,,

 因?yàn)?sub>    由(Ⅰ)知, 而

所以              所以                     …………9分

(Ⅲ) 過C作,作,連接

  ,   …………11分  

      是所求二面角的平面角

,      

二面角的大小為                                …………14分

18. (本小題共13分)

某校高二年級開設(shè)《幾何證明選講》及《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》兩個模塊的選修科目。每名學(xué)生可以選擇參加一門選修,參加兩門選修或不參加選修。已知有60%的學(xué)生參加過《幾何證明選講》的選修,有75%的學(xué)生參加過《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的選修,假設(shè)每個人對選修科目的選擇是相互獨(dú)立的,且各人的選擇相互之間沒有影響。

(Ⅰ)任選一名學(xué)生,求該生參加過模塊選修的概率;

(Ⅱ)任選3名學(xué)生,記為3人中參加過模塊選修的人數(shù),求的分布列和期望。

解:(Ⅰ)設(shè)該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A,

參加過《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的選修為事件B, 該生參加過模塊選修的概率為P,

則 該生參加過模塊選修的概率為0.9                                 …………6分

(另:

(Ⅱ) 可能取值0,1,2,3

    =0.001,=0.027

=0.243,   =0.729             …………10分

0

1

2

3

0.001

0.027

0.243

0.729

的分布列為

                                            …………13分

19. (本小題共13分)

           已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸,動直線垂直于直線,垂足為,線段的垂直平分線交于點(diǎn)M。(Ⅰ)求動點(diǎn)M的軌跡的方程;(Ⅱ)過點(diǎn)作直線交曲線于兩個不同的點(diǎn)P和Q,設(shè)=,若∈[2,3],求的取值范圍。

解:(Ⅰ)設(shè)M,則,由中垂線的性質(zhì)知

||=     化簡得的方程為                …………3分

(另:由知曲線是以x軸為對稱軸,以為焦點(diǎn),以為準(zhǔn)線的拋物線

    所以  ,         則動點(diǎn)M的軌跡的方程為

(Ⅱ)設(shè),由=  知        ①

又由在曲線上知  ②

由  ①  ②       解得    所以 有           …………8分

===     …………10分

設(shè)    有 在區(qū)間上是增函數(shù),

,進(jìn)而有 ,所以的取值范圍是 ……13分

20. (本小題共14分)

     函 數(shù)  是 定 義 在R上 的 偶 函 數(shù),且時,

,記函數(shù)的圖像在處的切線為,。

(Ⅰ) 求上的解析式;

(Ⅱ) 點(diǎn)列上,

依次為x軸上的點(diǎn),

如圖,當(dāng)時,點(diǎn)構(gòu)成以為底邊

的等腰三角形。若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(Ⅲ)在 (Ⅱ)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)a使得數(shù)列是等差數(shù)列?如果存在,寫出的一個值;如果不存在,請說明理由。

解:(Ⅰ) 函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),且

;是周期為2的函數(shù)         …………1分

 

可知=-4                    …………4分

(Ⅱ) 函數(shù)的圖像在處的切線為,且,

切線過點(diǎn)且斜率為1,切線的方程為y=x+1                …………6分

上,有        即

點(diǎn)構(gòu)成以為底邊的等腰三角形… ①

同理… ②     兩式相減 得          

                                   …………11分

(Ⅲ) 假設(shè)是等差數(shù)列 ,則                  …………14分

故存在實(shí)數(shù)a使得數(shù)列是等差數(shù)列

 


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