題目列表(包括答案和解析)
某電視臺舉辦了“中華好聲音”大型歌手選秀活動,過程分為初賽、復(fù)賽和決賽,經(jīng)初賽進(jìn)入復(fù)賽的40名選手被平均分成甲、乙兩個班,由組委會聘請兩位導(dǎo)師各負(fù)責(zé)一個班進(jìn)行聲樂培訓(xùn)。下面是根據(jù)這40名選手參加復(fù)賽時獲得的100名大眾評審的支持票數(shù)制成的莖葉圖:
賽制規(guī)定:參加復(fù)賽的40名選手中,獲得的支持票數(shù)排在前5名的選手可進(jìn)入決賽,若第5名出現(xiàn)并列,則一起進(jìn)入決賽;另外,票數(shù)不低于95票的選手在決賽時擁有“優(yōu)先挑戰(zhàn)權(quán)”。
1、從進(jìn)入決賽的選手中隨機(jī)抽出3名,求其中恰有1名擁有“優(yōu)先挑戰(zhàn)權(quán)”的概率;
2、電視臺決定,復(fù)賽票數(shù)不低于85票的選手將成為電視臺的“簽約歌手”,請?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表,并判斷“能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為成為‘簽約歌手’與選擇的導(dǎo)師有關(guān)?
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甲班 |
乙班 |
合計 |
簽約歌手 |
|
|
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末簽約歌手 |
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合計 |
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下面臨界值表僅供參考:
P(K2≥k) |
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.005 |
0.001 |
k |
2.072 |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
7.879 |
10.828 |
參考公式:K2= ,其中
某電視臺舉辦了“中華好聲音”大型歌手選秀活動,過程分為初賽、復(fù)賽和決賽,經(jīng)初賽進(jìn)入復(fù)賽的40名選手被平均分成甲、乙兩個班,由組委會聘請兩位導(dǎo)師各負(fù)責(zé)一個班進(jìn)行聲樂培訓(xùn)。下面是根據(jù)這40名選手參加復(fù)賽時獲得的100名大眾評審的支持票數(shù)制成的莖葉圖:
賽制規(guī)定:參加復(fù)賽的40名選手中,獲得的支持票數(shù)排在前5名的選手可進(jìn)入決賽,若第5名出現(xiàn)并列,則一起進(jìn)入決賽;另外,票數(shù)不低于95票的選手在決賽時擁有“優(yōu)先挑戰(zhàn)權(quán)”。
1、從進(jìn)入決賽的選手中隨機(jī)抽出3名,求其中恰有1名擁有“優(yōu)先挑戰(zhàn)權(quán)”的概率;
2、電視臺決定,復(fù)賽票數(shù)不低于85票的選手將成為電視臺的“簽約歌手”,請?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表,并判斷“能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為成為‘簽約歌手’與選擇的導(dǎo)師有關(guān)?
| 甲班 | 乙班 | 合計 |
簽約歌手 | | | |
末簽約歌手 | | | |
合計 | | | |
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
| 甲班 | 乙班 | 合計 |
簽約歌手 | | | |
末簽約歌手 | | | |
合計 | | | |
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
在本次數(shù)學(xué)期中考試試卷中共有10道選擇題,每道選擇題有4個選項(xiàng),其中只有一個是正確的。評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:“每題只選一項(xiàng),答對得5分,不答或答錯得0分”.某考生每道題都給出一個答案, 且已確定有7道題的答案是正確的,而其余題中,有1道題可判斷出兩個選項(xiàng)是錯誤的,有一道可以判斷出一個選項(xiàng)是錯誤的,還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生:
(1)選擇題得滿分(50分)的概率;
(2)選擇題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望。
【解析】第一問總利用獨(dú)立事件的概率乘法公式得分為50分,10道題必須全做對.在其余的3道題中,有1道題答對的概率為,有1道題答對的概率為,還有1道答對的概率為,
所以得分為50分的概率為:
第二問中,依題意,該考生得分的范圍為{35,40,45,50}
得分為35分表示只做對了7道題,其余各題都做錯,
所以概率為
得分為40分的概率為:
同理求得,得分為45分的概率為:
得分為50分的概率為:
得到分布列和期望值。
解:(1)得分為50分,10道題必須全做對.在其余的3道題中,有1道題答對的概率為,有1道題答對的概率為,還有1道答對的概率為,
所以得分為50分的概率為: …………5分
(2)依題意,該考生得分的范圍為{35,40,45,50} …………6分
得分為35分表示只做對了7道題,其余各題都做錯,
所以概率為 …………7分
得分為40分的概率為: …………8分
同理求得,得分為45分的概率為: …………9分
得分為50分的概率為: …………10分
所以得分的分布列為
35 |
40 |
45 |
50 |
|
|
數(shù)學(xué)期望
一、選擇題:本大題共8個小題,每小題5分,共40分。
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
C
D
C
B
二、填空題:本大題共6個小題,每小題5分,共30分
9.60 10. 4 11. 12. 2 13.與 或 與 14. -2;1
三、解答題: 本大題共6個小題,共80分。
15. (本小題共13分)已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的定義域; (Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最值。
解:(Ⅰ)由題意
所求定義域?yàn)?nbsp; {} …………4分
(Ⅱ)
…………9分
由 知 ,
所以當(dāng)時,取得最大值為; …………11分
當(dāng)時,取得最小值為0 。 …………13分
16.(本小題共13分)已知數(shù)列中,,當(dāng)時,函數(shù)取得極值。(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng);(Ⅱ)在數(shù)列中,,,求的值
解:(Ⅰ) 由題意 得 , …………6分
又 所以 數(shù)列是公比為的等比數(shù)列 所以 …………8分
(Ⅱ) 因?yàn)?nbsp; , …………10分
所以 ,,,……,
疊加得 把代入得 = …………13分
17. (本小題共14分)
如圖,在正三棱柱中,,是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,。
(Ⅰ)求所成角的正弦值;
(Ⅱ)證明;(Ⅲ) 求二面角的大小.
解:(Ⅰ)在正三棱柱中,
,又是正△ABC邊的中點(diǎn),
,
∠為所成角
又 sin∠= …………5分
(Ⅱ)證明: 依題意得 ,,
因?yàn)?sub> 由(Ⅰ)知, 而,
所以 所以 …………9分
(Ⅲ) 過C作于,作于,連接
, …………11分
又 是所求二面角的平面角
,
二面角的大小為 …………14分
18. (本小題共13分)
某校高二年級開設(shè)《幾何證明選講》及《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》兩個模塊的選修科目。每名學(xué)生可以選擇參加一門選修,參加兩門選修或不參加選修。已知有60%的學(xué)生參加過《幾何證明選講》的選修,有75%的學(xué)生參加過《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的選修,假設(shè)每個人對選修科目的選擇是相互獨(dú)立的,且各人的選擇相互之間沒有影響。
(Ⅰ)任選一名學(xué)生,求該生參加過模塊選修的概率;
(Ⅱ)任選3名學(xué)生,記為3人中參加過模塊選修的人數(shù),求的分布列和期望。
解:(Ⅰ)設(shè)該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A,
參加過《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的選修為事件B, 該生參加過模塊選修的概率為P,
則
則 該生參加過模塊選修的概率為0.9 …………6分
(另:)
(Ⅱ) 可能取值0,1,2,3
=0.001,=0.027
=0.243, =0.729 …………10分
0
1
2
3
0.001
0.027
0.243
0.729
的分布列為
…………13分
19. (本小題共13分)
已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸,動直線垂直于直線,垂足為,線段的垂直平分線交于點(diǎn)M。(Ⅰ)求動點(diǎn)M的軌跡的方程;(Ⅱ)過點(diǎn)作直線交曲線于兩個不同的點(diǎn)P和Q,設(shè)=,若∈[2,3],求的取值范圍。
解:(Ⅰ)設(shè)M,則,由中垂線的性質(zhì)知
||= 化簡得的方程為 …………3分
(另:由知曲線是以x軸為對稱軸,以為焦點(diǎn),以為準(zhǔn)線的拋物線
所以 , 則動點(diǎn)M的軌跡的方程為)
(Ⅱ)設(shè),由= 知 ①
又由在曲線上知 ②
由 ① ② 解得 所以 有 …………8分
=== …………10分
設(shè) 有 在區(qū)間上是增函數(shù),
得,進(jìn)而有 ,所以的取值范圍是 ……13分
20. (本小題共14分)
函 數(shù) 是 定 義 在R上 的 偶 函 數(shù),且時,
,記函數(shù)的圖像在處的切線為,。
(Ⅰ) 求在上的解析式;
(Ⅱ) 點(diǎn)列在上,
依次為x軸上的點(diǎn),
如圖,當(dāng)時,點(diǎn)構(gòu)成以為底邊
的等腰三角形。若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)在 (Ⅱ)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)a使得數(shù)列是等差數(shù)列?如果存在,寫出的一個值;如果不存在,請說明理由。
解:(Ⅰ) 函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),且
;是周期為2的函數(shù) …………1分
由 可知=-4 , …………4分
(Ⅱ) 函數(shù)的圖像在處的切線為,且,
切線過點(diǎn)且斜率為1,切線的方程為y=x+1 …………6分
在上,有 即
點(diǎn)構(gòu)成以為底邊的等腰三角形… ①
同理… ② 兩式相減 得
…………11分
(Ⅲ) 假設(shè)是等差數(shù)列 ,則 …………14分
故存在實(shí)數(shù)a使得數(shù)列是等差數(shù)列
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