題目列表(包括答案和解析)
如圖,邊長為2的正方形ABCD,E是BC的中點,沿AE,DE將折起,使得B與C重合于O.
(Ⅰ)設Q為AE的中點,證明:QDAO;
(Ⅱ)求二面角O—AE—D的余弦值.
【解析】第一問中,利用線線垂直,得到線面垂直,然后利用性質定理得到線線垂直。取AO中點M,連接MQ,DM,由題意可得:AOEO, DOEO,
AO=DO=2.AODM
因為Q為AE的中點,所以MQ//E0,MQAO
AO平面DMQ,AODQ
第二問中,作MNAE,垂足為N,連接DN
因為AOEO, DOEO,EO平面AOD,所以EODM
,因為AODM ,DM平面AOE
因為MNAE,DNAE, DNM就是所求的DM=,MN=,DN=,COSDNM=
(1)取AO中點M,連接MQ,DM,由題意可得:AOEO, DOEO,
AO=DO=2.AODM
因為Q為AE的中點,所以MQ//E0,MQAO
AO平面DMQ,AODQ
(2)作MNAE,垂足為N,連接DN
因為AOEO, DOEO,EO平面AOD,所以EODM
,因為AODM ,DM平面AOE
因為MNAE,DNAE, DNM就是所求的DM=,MN=,DN=,COSDNM=
二面角O-AE-D的平面角的余弦值為
在中,,分別是角所對邊的長,,且
(1)求的面積;
(2)若,求角C.
【解析】第一問中,由又∵∴∴的面積為
第二問中,∵a =7 ∴c=5由余弦定理得:得到b的值,然后又由余弦定理得:
又C為內角 ∴
解:(1) ………………2分
又∵∴ ……………………4分
∴的面積為 ……………………6分
(2)∵a =7 ∴c=5 ……………………7分
由余弦定理得:
∴ ……………………9分
又由余弦定理得:
又C為內角 ∴ ……………………12分
另解:由正弦定理得: ∴ 又 ∴
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,于是,所以
(2) ,設平面PCD的法向量,
則,即.不防設,可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設點E的坐標為(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如圖,作于點H,連接DH.由,,可得.
因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值為.
(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設交點為F,連接BE,EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
設橢圓的左、右頂點分別為,點在橢圓上且異于兩點,為坐標原點.
(Ⅰ)若直線與的斜率之積為,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若,證明直線的斜率 滿足
【解析】(1)解:設點P的坐標為.由題意,有 ①
由,得,
由,可得,代入①并整理得
由于,故.于是,所以橢圓的離心率
(2)證明:(方法一)
依題意,直線OP的方程為,設點P的坐標為.
由條件得消去并整理得 ②
由,及,
得.
整理得.而,于是,代入②,
整理得
由,故,因此.
所以.
(方法二)
依題意,直線OP的方程為,設點P的坐標為.
由P在橢圓上,有
因為,,所以,即 ③
由,,得整理得.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
某批數(shù)量較大的商品的次品率是5%,從中任意地連續(xù)取出10件,為所含次品的個數(shù),求.
分析:數(shù)量較大,意味著每次抽取時出現(xiàn)次品的概率都是0.05,可能取值是:0,1,2,…,10.10次抽取看成10次獨立重復試驗,所以抽到次品數(shù)服從二項分布,由公式可得解.
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