題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
(1)若函數(shù)的圖象經過P(3,4)點,求a的值;
(2)比較大小,并寫出比較過程;
(3)若,求a的值.
【解析】本試題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質的運用。第一問中,因為函數(shù)的圖象經過P(3,4)點,所以,解得,因為,所以.
(2)問中,對底數(shù)a進行分類討論,利用單調性求解得到。
(3)中,由知,.,指對數(shù)互化得到,,所以,解得所以, 或 .
解:⑴∵函數(shù)的圖象經過∴,即. … 2分
又,所以. ………… 4分
⑵當時,;
當時,. ……………… 6分
因為,,
當時,在上為增函數(shù),∵,∴.
即.當時,在上為減函數(shù),
∵,∴.即. …………………… 8分
⑶由知,.所以,(或).
∴.∴, … 10分
∴ 或 ,所以, 或 .
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線 在點 處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對任意 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
第一問中,利用當時,.
因為切點為(), 則,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即即可。
Ⅰ)當時,.
,
因為切點為(), 則,
所以在點()處的曲線的切線方程為:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因為,所以恒成立,
故在上單調遞增, ……12分
要使恒成立,則,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)當時,在上恒成立,
故在上單調遞增,
即. ……10分
(2)當時,令,對稱軸,
則在上單調遞增,又
① 當,即時,在上恒成立,
所以在單調遞增,
即,不合題意,舍去
②當時,, 不合題意,舍去 14分
綜上所述:
已知中心在原點O,焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經過點C(2,2),且拋物線的焦點為F1.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點,當以AB為直徑的圓P與y軸相切時,求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用。第一問中,設出橢圓的方程,然后結合拋物線的焦點坐標得到,又因為,這樣可知得到。第二問中設直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到
,再利用可以結合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。
解:(Ⅰ)設橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………2分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設直線l的方程為y=-x+m,……………5分
代入橢圓E方程,得…………………………6分
………………………7分
、………………8分
………………………9分
……………………………10分
當m=3時,直線l方程為y=-x+3,此時,x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,
圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分
同理,當m=-3時,直線l方程為y=-x-3,
圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4
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