題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分13分）
在一次數(shù)學統(tǒng)考后，某班隨機抽取10名同學的成績進行樣本分析，獲得成績數(shù)據(jù)的莖葉圖如下．
（Ⅰ）計算樣本的平均成績及方差；
（Ⅱ）現(xiàn)從10個樣本中隨機抽出2名學生的成績，設(shè)選出學生的分數(shù)為90分以上的人數(shù)為
，求隨機變量的分布列和均值．
| 9 | 2 | 8 | 8 |
| 8 | 5 | 5 | |
| 7 | 4 | 4 | 4 |
| 6 | 0 | 0 |
（本小題滿分13分）
某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標準
（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：
且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望.
在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由.
注：（1）產(chǎn)品的“性價比”=
；
（2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.
（本小題滿分13分）
在一次數(shù)學統(tǒng)考后，某班隨機抽取10名同學的成績進行樣本分析，獲得成績數(shù)據(jù)的莖葉圖如下．
（Ⅰ）計算樣本的平均成績及方差；
（Ⅱ）現(xiàn)從10個樣本中隨機抽出2名學生的成績，設(shè)選出學生的分數(shù)為90分以上的人數(shù)為
，求隨機變量的分布列和均值．
| 9 | 2 | 8 | 8 |
| 8 | 5 | 5 | |
| 7 | 4 | 4 | 4 |
| 6 | 0 | 0 |
（本小題滿分13分）（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問8分）
某市公租房的房源位于A，B，C三個片區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的求該市的任4位申請人中：
（Ⅰ）恰有2人申請A片區(qū)房源的概率；
（Ⅱ）申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)
的分布列與期望
（本小題滿分13分）
在一次數(shù)學統(tǒng)考后，某班隨機抽取10名同學的成績進行樣本分析，獲得成績數(shù)據(jù)的莖葉圖如下．
（Ⅰ）計算樣本的平均成績及方差；
（Ⅱ）現(xiàn)從10個樣本中隨機抽出2名學生的成績，設(shè)選出學生的分數(shù)為90分以上的人數(shù)為
，求隨機變量的分布列和均值．
| 9 | 2 | 8 | 8 |
| 8 | 5 | 5 | |
| 7 | 4 | 4 | 4 |
| 6 | 0 | 0 |
一、選擇題：（本大題共10個小題；每小題5分，共50分。）
題 號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
C
B
D
C
A
B
C
B
D
B
二、填空題：（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）
11. 
12. 
13.
14. 
15. [-1,1] 
三、解答題：（本大題共6小題，共75分。）
16.解：（I）∵u∥v，∴即
------（2分）
又
---------（5分）
（II）由（I）知
------------------------（7分）
------------------------------------------------（10分）
又
∴當A－
=0，即A= 時，
的最大值為
--------------（12分）
17. 解：（Ⅰ）設(shè)A表示甲命中目標，B表示乙命中目標，則A、B相互獨立，且P（A）＝
，從而甲命中但乙未命中目標的概率為
------------------------（5分）
（Ⅱ）設(shè)A1表示甲在兩次射擊中恰好命中k次，B1表示乙有兩次射擊中恰好命中l(wèi)次。依題意有
由獨立性知兩人命中次數(shù)相等的概率為
18. 解法一：（1）分別延長AC，A1D交于G. 過C作CM⊥A
∵BC⊥平面ACC
∴BM⊥A
平面A
∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，
,
即二面角B―A1D―A的大小為
------------------------（6分）
（2）在線段AC上存在一點F，使得EF⊥平面A1BD其位置為AC中點，證明如下：
∵A1B
∵由（1）BC⊥平面A
∵EF在平面A
同理可證EF⊥BD, ∴EF⊥平面A1BD------------------------（11分）
∵E為定點，平面A1BD為定平面,點F唯一------------------------（12分）
解法二：（1）∵A1B
C（0，0，0） B（2，0，0） A（0，2，0）
C1（0，0，2） B1（2，0，2） A1（0，2，2）
D（0，0，1） E（1，0，2） ------------------------（2分）
設(shè)平面A1BD的法向量為
平面ACC
=（1，0，0）
------------------------（4分）
即二面角B―A1D―A的大小為
------------------------（6分）
（2）在線段AC上存在一點F，設(shè)F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD
欲使EF⊥平面A1BD 由（2）知，當且僅當
//
---------------（9分）
∴存在唯一一點F（0，1，0）滿足條件. 即點F為AC中點------------（12分）
19．解：（1）
，
-----------------（2分）
因為函數(shù)
在
處的切線斜率為-3，
所以
，即
，------------------------（3分）
又
得
。------------------------（4分）
函數(shù)在
時有極值，所以
，-------（5分）
解得
，------------------------------------------（7分）
所以
．------------------------------------（8分）
（2）因為函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增，所以導函數(shù)
在區(qū)間上的值恒大于或等于零，------------------------------------（10分）
則
得
，
所以實數(shù)
的取值范圍為
．----------------------------------（13分）
20.解： (1)由
知，數(shù)列{
}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,則d=
,
故
.------------------------（4分）
(2)由
≥0,解得n≤5.故
當n≤5時，
=|
|+|
|+…+||=++…+=
;---------------（6分）
當n>5時，=||+||+…+||=++…+
-…-=
.--（8分）
(3)由于
=
,
所以
,------（10分）
從而
>0. ----------------------（11分）
故數(shù)列
是單調(diào)遞增的數(shù)列，又因
是數(shù)列中的最小項，要使
恒成立，則只需
成立即可，由此解得m<8,由于m∈Z,
故適合條件的m的最大值為7. ------------------------（13分）
21. 解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為
（
，
），
則
，
，∴
．------------------------（2分）
又
在雙曲線上，∴
．
聯(lián)立①②③，解得
，
．∴雙曲線方程為
．--------（5分）
注：對點M用第二定義，得
，可簡化計算．
（Ⅱ）
，設(shè)
，
，m：
，則
由
，得
，
．--------------------（7分）
由
，得
．
∴
，
．
．
由，
，，---------------------（9分）
消去
，
，
得
．------------------------（10分）
∵
，函數(shù)
在
上單調(diào)遞增，
∴
，∴
．------------------------（11分）
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