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已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線x²=4的焦點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對稱的任意兩點，設(shè)P（-4，0），連接PA交橢圓C于另一點E，求證：直線BE與x軸相交于定點M；
（III）設(shè)O為坐標原點，在（II）的條件下，過點M的直線交橢圓C于S、T兩點，求•的取值范圍．

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已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線y=x²的焦點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對稱的任意兩點，設(shè)P（-4，0），連接PA交橢圓C于另一點E，求證：直線BE與x軸相交于定點M；
（III）設(shè)O為坐標原點，在（II）的條件下，過點M的直線交橢圓C于S、T兩點，求•的取值范圍．

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一、選擇題（每小題5分，共50分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

A

D

C

D

B

C

A

二、填空題（每小題4分，共24分）

11   12  10    13 144    14      15

16  540

三、 解答題（共76分，以下各題文累積得分，其他解法請相應(yīng)給分）

17解：(I)由題意得，即，，……3分

       又，，……4分

       ……6分

      （II），

           于是

           又……8分

又……10分

……12分

18 解：(I) 最大編號分別為3，4，5，6。，……2分

    ……4分

  ，……6分 ……8分，即分布列為

3

4

5

6

 （II）的數(shù)字期望……10分

       的方差

……12分

19 解：(I)證明：連結(jié)是長方體，

        面

         又面，，又是正方形，

        面，即……3分

        又，……6分

（II）如圖，以為原點建系，由題意的

         ……6分

        于是

        ，設(shè)面

     不妨設(shè)由

     ……8分

     設(shè)面，不妨設(shè)

     ……9分

若與的夾角，則……11分

據(jù)分析二面角是銳角，二面角的余弦值是……12分

20 解：(I)由題意知故……1分

   又設(shè)橢圓中心關(guān)于直線的對稱點為，

 于是方程為……2分

由得線段的中點為（2，-1），從而的橫坐標為4

故橢圓的方程為=1……4分

（II）由題意知直線存在斜率，設(shè)直線的方程為并整理得   ①……6分

由，得又不合題意

……8分

設(shè)點，則

由①知……9分

直線方程為……10分

令得，將代入

整理得 ，再將，代入計算得

直線 軸相交于頂點（1，0），……12分

21解：(I) ……2分

①     若,則當或時時，

內(nèi)是增函數(shù)，在 內(nèi)是減函數(shù) ，……4分

②     若

內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)……6分

（II）由題意知得……7分

恰有一根（含重根 ）

……8分

又

的值域為和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，

由題意的解得……12分

當內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)

由題意得解得

綜上知實數(shù)的取值范圍為……14分

22 解（I）設(shè)公差為，由 得……1分

數(shù)列為3，5，7，9，7，5，3，……2分

（II）……3分

又=……4分

（III）所有可能的“對稱數(shù)列”是①1，2，2²

       ②

       ③

       ④……9分

當

       對于②當

當

對于③當時，

當

分

對于④當時，

當