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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分14分)

在△OAB的邊OA,OB上分別有一點(diǎn)P,Q,已知:＝1:2, :＝3:2,連結(jié)AQ,BP,設(shè)它們交于點(diǎn)R,若＝a，＝b.

   (1)用a與 b表示；

   (2)過(guò)R作RH⊥AB,垂足為H,若| a|＝1, | b|＝2, a與 b的夾角的取值范圍.

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(本小題滿分14分)已知A（8，0），B、C兩點(diǎn)分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，并且滿足。

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

（2）若過(guò)點(diǎn)A的直線L與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡交于M、N兩點(diǎn)，且

其中Q（-1，0）,求直線L的方程.

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(本小題滿分14分）

 已知函數(shù)，a＞0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m          

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)a=3，求在區(qū)間{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

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(本小題滿分14分)

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)。

（Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）設(shè)0＜a＜b，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有

a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。

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(本小題滿分14分)

如圖（1），是等腰直角三角形，，、分別為、的中點(diǎn)，將沿折起， 使在平面上的射影恰為的中點(diǎn)，得到圖（2）．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求三棱錐的體積．

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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.

1.         2.       3.         4.25         5.         6.

7.            8.③               9.6              10.50%(填0.5，都算對(duì))

11.          12.＜              13.12             14.或

二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分.

15.解:（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P共有28個(gè)，而滿足的點(diǎn)P有19個(gè)，

從而所求的概率為………………………………………………………………………(7分)

   （Ⅱ）當(dāng)時(shí),由構(gòu)成的矩形的面積為,而滿足

的區(qū)域的面積為，故所求的概率為……………………………………(14分)

16.證:(Ⅰ)連接交于,連接.

∵分別是的中點(diǎn)，∴∥且=,∴四邊形是矩形.

∴是的中點(diǎn)………………………………………………………………………………(3分)

又∵是的中點(diǎn),∴∥……………………………………………………………(5分)

則由,,得∥………………………………………(7分)

(注:利用面面平行來(lái)證明的,類(lèi)似給分)

(Ⅱ) ∵在直三棱柱中，⊥底面,∴⊥.

又∵,即⊥,∴⊥面………………………(9分)

而面,∴⊥……………………………………………………………(12分)

又,∴平面……………………………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)由,得

,所以………………………………………………(4分)

則,所以……………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)方案一：選擇①③.

∵A=30°,a=1,2c-(+1)b=0，所以，則根據(jù)余弦定理，

得，解得b=,則c=…………………(11分)

∴…………………………………(14分)

方案二：選擇②③. 可轉(zhuǎn)化為選擇①③解決,類(lèi)似給分.

(注：選擇①②不能確定三角形)

18. 解:（Ⅰ）,即,

  ,準(zhǔn)線,……………………………………………………(2分)

  設(shè)⊙C的方程為,將O、F、A三點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

,解得………………………………………………………(4分)

∴⊙C的方程為……………………………………………………(5分)

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為,則,整理得：

對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立……………………………………………(7分)

∴,解得或,

故當(dāng)變化時(shí)，⊙C經(jīng)過(guò)除原點(diǎn)O外的另外一個(gè)定點(diǎn)B……………………………(10分)

（Ⅲ）由B、、得,

 ∴,解得……………………………………………(12分)

   又 ,∴………………………………………………………………(14分)

又橢圓的離心率（）……………………(15分)

 ∴橢圓的離心率的范圍是………………………………………………………(16分)

19. (Ⅰ)證:因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)，總成立,

令，得,則…………………………………………(1分)

令，得  (1) , 從而   (2),

(2)－(1)得,…………………………………………………………………(3分)

綜上得,所以數(shù)列是等比數(shù)列…………………………………………(4分)

（Ⅱ）正整數(shù)成等差數(shù)列，則,所以,

則……………………………………………………(7分)

①當(dāng)時(shí)，………………………………………………………………(8分)

②當(dāng)時(shí)，…………………………(9分)

③當(dāng)時(shí)，……………………(10分)

（Ⅲ）正整數(shù)成等比數(shù)列，則,則,

所以，……………(13分)

①當(dāng),即時(shí)，……………………………………………(14分)

②當(dāng),即時(shí)，………………………………(15分)

③當(dāng),即時(shí)，………………………………(16分)

20. 解: (Ⅰ)當(dāng)時(shí),.

因?yàn)楫?dāng)時(shí),,,

且,

所以當(dāng)時(shí),,且……………………………………(3分)

由于,所以,又,

故所求切線方程為,

即…………………………………………………………………(5分)

   (Ⅱ) 因?yàn)?sub>,所以,則  

                                                          

  

當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>,,

所以由,解得,

從而當(dāng)時(shí), ……………………………………………(6分)

①     當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>,,

所以由,解得,

從而當(dāng)時(shí), …………………………………………(7分)

③當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>,

從而 一定不成立………………………………………………………………(8分)

綜上得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,

故 …………………………………………(9分)

從而當(dāng)時(shí),取得最大值為…………………………………………………(10分)

(Ⅲ)“當(dāng)時(shí),”等價(jià)于“對(duì)恒成立”,

即“(*)對(duì)恒成立” ……………………………………(11分)

①     當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,則(*)可化為

,即,而當(dāng)時(shí),,

所以,從而適合題意………………………………………………………………(12分)

②     當(dāng)時(shí),.

⑴     當(dāng)時(shí),(*)可化為,即,而,

所以,此時(shí)要求

 

…………………………………………………………(13分)

⑵        當(dāng)時(shí),(*)可化為,

所以,此時(shí)只要求………………………………………………………(14分)

(3)當(dāng)時(shí),(*)可化為,即,而,

所以,此時(shí)要求…………………………………………………………(15分)

由⑴⑵⑶,得符合題意要求.

 綜合①②知,滿足題意的存在,且的取值范圍是………………………………(16分)

 

 

數(shù)學(xué)附加題部分

21.A.解：因?yàn)镻A與圓相切于點(diǎn)A,所以.而M為PA的中點(diǎn),

所以PM=MA,則.

又,所以,所以……………………(5分)

在中,由,

即,所以,

從而……………………………………………………………………………(10分)

B．解:,所以=……………………………(5分)

即在矩陣的變換下有如下過(guò)程,,

則,即曲線在矩陣的變換下的解析式為……(10分)

C．解:由題設(shè)知,圓心,故所求切線的直角坐標(biāo)方程

為……………………………………………………………………………(6分)

      從而所求切線的極坐標(biāo)方程為………………………………(10分)

D．證:因?yàn)?sub>,利用柯西不等式,得…………………………(8分)

  即………………………………………………………………………(10分)

22．解: (Ⅰ)以A為原點(diǎn),AB、AC、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，

則A(0，0，0),B(2，0，0),C(0，2，0),E(0，1，0),P(0，0，1),

所以,……………………………(4分)

故異面直線BE與PC所成角的余弦值為……………………………………(5分)

(Ⅱ)作PM⊥BE交BE(或延長(zhǎng)線)于M,作CN⊥BE交BE(或延長(zhǎng)線)于N,

則存在實(shí)數(shù)m、n,使得,即

因?yàn)?sub>,所以

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