題目列表(包括答案和解析)
(08年青島市質(zhì)檢一) 在的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為15,則n=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.A 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D 7.B 8.B
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9.- 10.5 11.2, 12.12 13.26 14.-
注:兩個空的填空題第一個空填對得2分,第二個空填對得3分.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15.(本小題滿分13分)
(Ⅰ)解:f(x)=cos2x-sin2x+2sinxcosx+1=sin2x+cos2x+1
=2sin+1. ……………………………………………5分
因此f(x)的最小正周期為,最小值為-1.……………………………7分
(Ⅱ)由f()=2得2 sin+1=2,即sin=. ………9分
而由∈得2+∈.……………………………10分
故2+=.…………………………………………………………12分
解得=. ………………………………………………………………13分
16.(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)要得40分,8道選擇題必須全做對,在其余四道題中,有兩道題答對的概率為,有一道題答對的概率為,還有一道題答對的概率為,所以得40分的概率為
P=×××=. ………………………………………………5分
(Ⅱ)依題意,該考生得分的取值是20,25,30,35,40,得分為20表示只做對了四道題,其余各題都做錯,故求概率為P(=20)=×××=;
同樣可求得得分為25分的概率為
P(=25)=××××+×××+×××=;
得分為30分的概率為P(=30)=;
得分為35分的概率為,P(=35)=;
得分為40分的概率為P(=40)=.
于是的分布列為
20
25
30
35
40
P
………………………………………………………………………………11分
故E=20×+25×+30×+35×+40×=.
該考生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為 ………………………………………13分
17.(本小題滿分14分)
解法一:
(Ⅰ)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1底面
ABC,BC1在底面上的射影為CB.
由AC=3,BC=4,AB=5,可得ACCB.
所以ACBC1………………………4分
(Ⅱ)過C作CEAB于E,連結(jié)C1E.
由CC1底面ABC可得C1EAB.
故∠CEC1為二面角C1-AB-C的平面角.
在ABC中,CE=,
在RtCC1E中,tanC1EC==,
故所求二面角的大小為arctan.……9分
(Ⅲ)存在點(diǎn)D使AC1∥平面CDB1,且D為AB中點(diǎn),下面給出證明.
設(shè)BC1與CB1交于點(diǎn)O,則O為BC1中點(diǎn).連接OD.
在△ABC1中,D,O分別為AB,BC1的中點(diǎn),故OD為△ABC1的中位線,
∴OD∥AC1,又AC1平面CDB1,OD平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
故存在點(diǎn)D為AB中點(diǎn),使AC1∥平面CDB1. ………………………………14分
解法二:
∵直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三邊長AC=3,BC=4,AB=5,
∴AC,BC,CC1兩兩垂直.如圖以C為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則
C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).
(Ⅰ)∵=(-3,0,0),=(0,-4,4),
∴?=0,故ACBC1 ………………………………………………4分
(Ⅱ)平面ABC的一個法向量為m=(0,0,1),設(shè)平面C1AB的一個法向量為 n=(x0,y0,z0),
=(-3,0,4),=(-3,4,0).
由得
令x0=4,則z0=3,y0=3.
則n=(4,3,3).
故cos<m,n>==.
所求二面角的大小為arccos. ………………………………………9分
(Ⅲ)同解法一 ………………………………………………………………………4分
18.(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)依題意有,f ′(x)=a+.……………………………………………3分
因此過(1,f(1))點(diǎn)的直線的斜率為a-1,又f(1)=a,
所以,過(1,f(1))點(diǎn)的直線方程為y-a=(a-1)(x-1).…………4分
又已知圓的圓心為(-1,0),半徑為1,依題意,=1.
解得a=1. …………………………………………………………………6分
(Ⅱ)f ′(x)=a+.
因?yàn)閍>0,所以2-<2,又由已知x<2.………………………………9分
令f ′(x)>0,解得x<2-,令f ′(x)<0,解得2-<x<2. …11分
所以,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是,
f(x)的單調(diào)減區(qū)間是.………………………………………13分
19.(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)由已知拋物線的焦點(diǎn)為(0,-),故設(shè)橢圓方程為+=1.
將點(diǎn)A(1,)代入方程得+=1,整理得a4-5a2+4=0,
解得a2=4或a2=1(舍).
故所求橢圓方程為+=1. …………………………………………6分
(Ⅱ)設(shè)直線BC的方程為y=x+m,設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),
代入橢圓方程并化簡得4x2+2mx+m2-4=0, …………………………9分
由=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,可得m2<8.
由x1+x2=-m,x1x2=,
故==.
又點(diǎn)A到BC的距離為d=, …………………………………………11分
故=?d=≤?=,
當(dāng)且僅當(dāng)2m2=16-2m2,即m=±2時取等號(滿足>0)
所以△ABC面積的最大值為. ………………………………………13分
20.(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)依題意有yn=+,于是yn+1-yn=.
所以數(shù)列是等差數(shù)列. ………………………………………………4分
(Ⅱ)由題意得=n,即xn+xn+1=2n,(n∈N*)①
所以又有xn+2+ xn+1=2(n+1). ②……………………6分
由②-①得xn+2-xn=2,可知x1,x3,x5,…;x2,x4,x6,…都是等差數(shù)列.那么得
x2k-1=x1+2(k-1)=2k+a-2,
x2k=x2+2(k-1)=2-a+2(k-1)=2k-a.(k∈N*)
故xn= ……………………………………………10分
(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時,An(n+a-1,0),An+1(n+1-a,0),所以=2(1-a);
當(dāng)n為偶數(shù)時,An(n-a,0)An+1(n+a,0),所以=2a;
作BnCnx軸,垂足為Cn,則=+,要使等腰三角形AnBnAn+1為直角三角形,必須且只需=2.
當(dāng)n為奇數(shù)時,有2(1-a)=2,即12a=11-3n. ①
當(dāng)n=1時,a=;當(dāng)n=3時,a=;當(dāng)n≥5時,①式無解.
當(dāng)n為偶數(shù)時,有12a=3n+1,同理可求得a=.
綜上所述,上述等腰三角形AnBnAn+1中存在直角三角形,此時a的值為或 或. ………………………………………………………………………14分
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