已知關(guān)于的不等式.其中． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

 （12分）已知關(guān)于的不等式，其中．

   （1）當(dāng)變化時(shí)，試求不等式的解集；

   （2）對(duì)于不等式的解集，若滿足（其中為整數(shù)集）． 試探究集合能否為有限集？若能，求出使得集合中元素個(gè)數(shù)最少的的所有取值，并用列舉法表示集合；若不能，請(qǐng)說明理由．

 

 

 

 

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已知關(guān)于x的不等式（kx-k2-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）當(dāng)k變化時(shí)，試求不等式的解集A；
（2）對(duì)于不等式的解集A，若滿足A∩Z=B（其中Z為整數(shù)集）．試探究集合B能否為有限集？若能，求出使得集合B中元素個(gè)數(shù)最少的k的所有取值，并用列舉法表示集合B；若不能，請(qǐng)說明理由．

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已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集為{x|x≠-
1
a
}，則
a2+b2+7
a-b
（其中a＞b）的最小值為
 
．

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已知關(guān)于x的不等式（kx-k2-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）求上述不等式的解；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得上述不等式的解集A中只有有限個(gè)整數(shù)？若存在，求出使得A中整數(shù)個(gè)數(shù)最少的k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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已知關(guān)于x的不等式ax2-3x+6＞0的解集為{x|b＜x＜1}
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）解 關(guān)于x的不等式：ax2-（ac+b）x+bc＞0，其中c∈R．

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一、填空題：（5’×11＝55’）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

答案

0

(1,2)

2

題號(hào)

7

8

9

10

11

 

答案

4

8．3

②、③

 

二、選擇題：（4’×4＝16’）

題號(hào)

12

13

14

15

答案

A

C

B

20090116

三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

16．解：由條件，可得，故左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為，故．

因?yàn)?sub>，所以

,

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值4．

所以，的模的最小值為2，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．

17．解：（1）當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)且時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；（不單獨(dú)分析時(shí)的情況不扣分）

當(dāng)時(shí)，．

（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，集合中的元素的個(gè)數(shù)無(wú)限；

當(dāng)時(shí)，集合中的元素的個(gè)數(shù)有限，此時(shí)集合為有限集．

因?yàn)?sub>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)最少．

此時(shí)，故集合．

18．（本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 （2）解：如圖所示．由，，則面．

所以，四棱錐的體積為

．

19．解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12．

由此可得，；

由規(guī)律②可知，，

；

又當(dāng)時(shí)，，

所以，，由條件是正整數(shù)，故取．

    綜上可得，符合條件．

（2） 解法一：由條件，，可得

，

，

，．

因?yàn)?sub>，，所以當(dāng)時(shí)，，

故，即一年中的7，8，9，10四個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”．

解法二：列表，用計(jì)算器可算得

月份

…

6

7

8

9

10

11

…

人數(shù)

…

383

463

499

482

416

319

…

故一年中的7，8，9，10四個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”．

20．解：（1）依條件得： 則無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為：

     ；

  （2）解法一：設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由條件得：，

則，即    

而  則 .

所以，滿足條件的無(wú)窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項(xiàng)、公比均為，

其通項(xiàng)公式為，.

解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為．

由………… ①

又若，則對(duì)每一

都有………… ②

從①、②得；

則；

因而滿足條件的無(wú)窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為無(wú)窮等比子

數(shù)列，通項(xiàng)公式為，．

（3）以下給出若干解答供參考，評(píng)分方法參考本小題閱卷說明：

問題一：是否存在數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．

解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和之積為1。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

，

因?yàn)榈仁阶筮吇驗(yàn)榕紨?shù)，或?yàn)橐粋�(gè)分?jǐn)?shù)，而等式右邊為兩個(gè)奇數(shù)的乘積，還是一個(gè)奇數(shù)。故等式不可能成立。所以這樣的兩個(gè)子數(shù)列不存在。

【以上解答屬于層級(jí)3，可得設(shè)計(jì)分4分，解答分6分】

問題二：是否存在數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．

解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和相等。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

………… ①

若且，則①，矛盾；若且，則①

，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則

①………… ②

1當(dāng)時(shí)，②，等式左邊是偶數(shù)，

右邊是奇數(shù)，矛盾；

2當(dāng)時(shí)，②

或

，

兩個(gè)等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

綜合可得，不存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們的各項(xiàng)和相等。

【以上解答屬于層級(jí)4，可得設(shè)計(jì)分5分，解答分7分】

問題三：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．

解：假設(shè)存在滿足條件的原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

，

顯然當(dāng)時(shí)，上述等式成立。例如取，，得：

第一個(gè)子數(shù)列：，各項(xiàng)和；第二個(gè)子數(shù)列：，

各項(xiàng)和，有，因而存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍。

【以上解答屬層級(jí)3，可得設(shè)計(jì)分4分，解答分6分．若進(jìn)一步分析完備性，可提高一個(gè)層級(jí)評(píng)分】

問題四：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？并說明理由．解（略）：存在。

問題五：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？并說明理由．解（略）：不存在．

【以上問題四、問題五等都屬于層級(jí)4的問題設(shè)計(jì)，可得設(shè)計(jì)分5分。解答分最高7分】

 


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