已知橢圓C中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大值為3，最小值為1．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N（M、N不是左、右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)A．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

已知A、B分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，

2

2

）在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)C是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對于△ABC，求

sinA+sinB

sinC

的值．

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，其中F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)，M是C₁與C₂在第一象限的交點(diǎn)，且|MF₂|=

5

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在橢圓C₁上，對角線BD所在的直線的斜率為1．
①當(dāng)直線BD過點(diǎn)（0，

1

7

）時(shí)，求直線AC的方程；
②當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．

已知橢圓C₁的方程為

x2

4

+y²=1，雙曲線C₂的左、右焦點(diǎn)分別為C₁的左、右頂點(diǎn)，而C₂的左、右頂點(diǎn)分別是C₁的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求雙曲線C₂的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+

2

與橢圓C₁及雙曲線C₂都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C₂的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足

OA

•

OB

＜6（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，其中F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)，M是C₁與C₂在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=

5

3

（I）求橢圓C₁的方程；   
（Ⅱ）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓C₁上，頂點(diǎn)B、D在直線7x-7y+1=0上，求直線AC的方程．