已知橢圓：．
（Ⅰ）若橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為和，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標原點O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點．設原點O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當d=1時的值．

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已知橢圓：．
（Ⅰ）若橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為和，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標原點O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點．設原點O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當d=1時的值．

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已知橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+

3

和2-

3

，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標原點O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點．設原點O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當d=1時

1

a2

+

1

b2

的值．

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一、選擇題.(單項選擇,5×12=60分.答案涂在答題卡上的相應位置.)

1.C  2. A  3. B  4. B  5. B  6. B  7. A  8. C  9.D  10. B  11.D  12. B

二、填空題.( 5×4=20分,答案寫在答題紙的相應空格內.)

13．    14．②④⑤    15．    16．11

三、解答題.（12×5+10=70分,答案寫在答題紙的答題區(qū)內.）

17．（Ⅰ）∵ m?n                               ……… 2分

∴，解得                          ……… 6分

（Ⅱ）      ……… 8分

∵，∴                        ………10分

∴的值域為[]                               ………12分

18．（Ⅰ）把一根長度為8的鐵絲截成3段，且三段的長度均為整數(shù)，共有21種解法．

(可視為8個相同的小球放入3個不同盒子，有種方法) …   3分

其中能構成三角形的情況有3種情況：“2，3，3”、“3，2，3”、“3，3，2”．

則所求的概率是                                 ……… 6分

（Ⅱ）根據(jù)題意知隨機變量                           ……… 8分

∴        ……12分

19．（Ⅰ）∵點A、D分別是、的中點，∴. …… 2分

∴∠=90º.∴.∴ ,                                                   

∵,∴⊥平面.              ……… 4分

∵平面,∴.                          ……… 5分

（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系．

則（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.

∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,  …6分

設平面的法向量為=（x，y，z），則：

，                                   ……… 8分

令，得，∴=（1，1，－1）

顯然，是平面的一個法向量，=（）．     ………10分

∴cos<，>=． 

∴二面角的平面角的余弦值是.               ………12分

20．（Ⅰ）                                         ……… 4分

（Ⅱ）由橢圓的對稱性知：PRQS為菱形，原點O到各邊距離相等………            5分

⑴當P在y軸上時，易知R在x軸上，此時PR方程為，

．                               ……… 6分

⑵當P在x軸上時，易知R在y軸上，此時PR方程為，

．                               ……… 7分

⑶當P不在坐標軸上時，設PQ斜率為k，、

P在橢圓上，.......①；R在橢圓上，....

②利用Rt△POR可得　        ……… 9分

即　

整理得　．                           ………11分

再將①②帶入，得

綜上當時，有．         ………12分

21．（Ⅰ）時，單調遞減，

當單調遞增。

①若無解；

②若

③若時，上單調遞增，

；

所以                           ……… 4分

（Ⅱ）則

設則時，

單調遞減，單調遞增，

所以因為對一切

恒成立，所以；                         ……… 8分

（Ⅲ）問題等價于證明，

由（Ⅰ）可知

當且僅當時取到，設

則，當且僅當時取到，

從而對一切成立．         ………12分

22．（Ⅰ）連接OC，∵OA=OB，CA=CB  ∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切線          … 5分

（Ⅱ）∵ED是直徑，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°

又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E

又∵∠CBD+∠EBC，∴△BCD∽△BEC    ∴  ∴BC²=BD•BE

∵tan∠CED=,∴∵△BCD∽△BEC, ∴

設BD=x,則BC=2 又BC²=BD•BE，∴(2x)²=x•(x+6)

解得x₁=0,x₂=2, ∵BD>0, ∴BD=2∴OA=OB=BD+OD=3+2=5          … 10分

23．（Ⅰ）                                   …  5分

（Ⅱ）                                     … 10分

23．（Ⅰ），                                             …  5分

（Ⅱ）

               … 10分

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