(Ⅱ)數列滿足:.且,記數列的前n項和為. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

數列{an}前n項和記為Sn，且an＞0，Sn=
1
8
(an+2)2(n∈N*)
（1）求數列{an}通項公式an
（2）若bn滿足bn=(t-1)
an+2
4
(t＞1)，Tn為數列{bn}前n項和，求：Tn
（3）在（2）的條件下求
lim
n→∞
Tn
Tn+1
．

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記數列{an}的前n項和為Sn，所有奇數項之和為S′，所有偶數項之和為S″．
（1）若{an}是等差數列，項數n為偶數，首項a1=1，公差，且S″-S′=15，求Sn；
（2）若無窮數列{an}滿足條件：①（n∈N*），②S′=S″．求{an}的通項；
（3）若{an}是等差數列，首項a1＞0，公差d∈N*，且S′=36，S″=27，請寫出所有滿足條件的數列．

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（Ⅰ）已知函數f(x)=
x
x+1
．數列{an}滿足：an＞0，a1=1，且
an+1
=f(
an
)，記數列{bn}的前n項和為Sn，且Sn=
2
2
[
1
an
+(
2
+1)n]．求數列{bn}的通項公式；并判斷b4+b6是否仍為數列{bn}中的項？若是，請證明；否則，說明理由．
（Ⅱ）設{cn}為首項是c1，公差d≠0的等差數列，求證：“數列{cn}中任意不同兩項之和仍為數列{cn}中的項”的充要條件是“存在整數m≥-1，使c1=md”．

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數列{an}的前n項和為Sn（n∈N*），Sn=（m+1）-man對任意的n∈N*都成立，其中m為常數，且m＜-1．
（1）求證：數列{an}是等比數列；
（2）記數列{an}的公比為q，設q=f（m）．若數列{bn}滿足；b1=a1，bn=f（bn-1）（n≥2，n∈N*）．求證：數列{
1bn
}是等差數列；
（3）在（2）的條件下，設cn=bn•bn+1，數列{cn}的前n項和為Tn．求證：Tn＜1．

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數列{an}的前n項和記作Sn，滿足Sn=2an+3n-12  （n∈N*）．
（1）求出數列{an}的通項公式；
（2）若bn=
an
(Sn-3n)(an+1-6) 
，求證：b1+b2+…+bn＜
1
6
；
（3）若cn=
an-3
3n
，且
1
c1
+
1
c2
+…+
1
cn
＜loga（6-a）對所有的正整數n恒成立，求實數a的取值范圍．

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說明：

    一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則.

    二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.

    三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.

    四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分50分.

1. A        2. C        3. C        4.C     5.D     6.D     7. B        8. D        9. B        10. C

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分20分.

11.  12.38      12.  5      13.  36ec8aac122bd4f6e        14.    6ec8aac122bd4f6e  15. ②③

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16. 本小題主要考查正弦定理、三角函數的倍角公式、兩角和公式等基本知識，考

查學生的運算求解能力. 滿分13分.

解：（Ⅰ）由6ec8aac122bd4f6e，知6ec8aac122bd4f6e                   ………………………（2分）

又6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e，

         6ec8aac122bd4f6e ，6ec8aac122bd4f6e                      ………………………（5分）

故6ec8aac122bd4f6e                                   ………………………（6分）

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知6ec8aac122bd4f6e，

         6ec8aac122bd4f6e 

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e                  ………………………………（9分）

         6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e

         當6ec8aac122bd4f6e，即6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e取得最大值為6ec8aac122bd4f6e．   ……………（13分）                               

6ec8aac122bd4f6e17. 本題主要考查線線、線面、面面位置關系，線面角等基本知識，考查空間想像能力，運算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

6ec8aac122bd4f6e解：（Ⅰ）證明：如圖，取6ec8aac122bd4f6e中點6ec8aac122bd4f6e，連結6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e；

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e∥6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e∥6ec8aac122bd4f6e，

又6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e，

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e，…………（3分）

四邊形6ec8aac122bd4f6e為平行四邊形，

6ec8aac122bd4f6e∥6ec8aac122bd4f6e，

又6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e，

6ec8aac122bd4f6e∥平面6ec8aac122bd4f6e．                          ………………………（6分）

（Ⅱ）依題意知平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e，

6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e  

又6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e.

如圖，以6ec8aac122bd4f6e為原點，建立空間直角坐標系6ec8aac122bd4f6e-xyz，

6ec8aac122bd4f6e，可得6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e，

6ec8aac122bd4f6e.

設平面6ec8aac122bd4f6e的一個法向量為6ec8aac122bd4f6e，

由6ec8aac122bd4f6e   得6ec8aac122bd4f6e

解得6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e．             ………………………（9分）

設線段6ec8aac122bd4f6e上存在一點6ec8aac122bd4f6e，其中6ec8aac122bd4f6e，則6ec8aac122bd4f6e，

6ec8aac122bd4f6e，

依題意：6ec8aac122bd4f6e，即6ec8aac122bd4f6e，

可得6ec8aac122bd4f6e，解得6ec8aac122bd4f6e（舍去）．  

             所以6ec8aac122bd4f6e上存在一點6ec8aac122bd4f6e．   …………（13分）

18．本題主要考查函數與導數等基本知識，考查運用數學知識分析問題與解決問題的能力，

考查應用意識. 滿分13分.

    解：（Ⅰ）依題意，

銷售價提高后為6000（1+6ec8aac122bd4f6e）元/臺，月銷售量為6ec8aac122bd4f6e臺……………（2分）

則6ec8aac122bd4f6e               ……………………（4分）

即6ec8aac122bd4f6e．       ……………………（6分）

   （Ⅱ）6ec8aac122bd4f6e

令6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e，

解得6ec8aac122bd4f6e舍去）．                      ……………………（9分）

當6ec8aac122bd4f6e 當6ec8aac122bd4f6e

當6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e取得最大值．

此時銷售價為6ec8aac122bd4f6e元．

答：筆記本電腦的銷售價為9000元時，電腦企業(yè)的月利潤最大．…………………（13分）

6ec8aac122bd4f6e19．本題主要考查直線與橢圓的位置關系、不等式的解法等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力. 滿分13分

解：（Ⅰ）因為橢圓6ec8aac122bd4f6e的一個焦點是（1，0），所以半焦距6ec8aac122bd4f6e=1.

因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形.

所以6ec8aac122bd4f6e，解得6ec8aac122bd4f6e

所以橢圓的標準方程為6ec8aac122bd4f6e.  …（4分）                

6ec8aac122bd4f6e（Ⅱ）（i）設直線6ec8aac122bd4f6e：6ec8aac122bd4f6e與6ec8aac122bd4f6e聯(lián)立并消去6ec8aac122bd4f6e得：6ec8aac122bd4f6e.

記6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e，

6ec8aac122bd4f6e，

6ec8aac122bd4f6e.  ……………（5分）

由A關于6ec8aac122bd4f6e軸的對稱點為6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e，

根據題設條件設定點為6ec8aac122bd4f6e（6ec8aac122bd4f6e，0），

得6ec8aac122bd4f6e，即6ec8aac122bd4f6e.

所以6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

即定點6ec8aac122bd4f6e（1 ， 0）.                 ……………………………………（8分）

（ii）由（i）中判別式6ec8aac122bd4f6e，解得6ec8aac122bd4f6e.    

可知直線6ec8aac122bd4f6e過定點6ec8aac122bd4f6e (1,0).

所以6ec8aac122bd4f6e    　　　   ……………（10分）

得6ec8aac122bd4f6e,  令6ec8aac122bd4f6e

記6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e，當6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e在6ec8aac122bd4f6e上為增函數.

所以6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e ，

得6ec8aac122bd4f6e.

故△OA1B的面積取值范圍是6ec8aac122bd4f6e.                     ……………（13分）

20. 本題主要考查函數的單調性、等差數列、不等式等基本知識，考查運用合理的推理證明解

決問題的方法，考查分類與整合及化歸與轉化等數學思想. 滿分14分.

解：（Ⅰ）因為6ec8aac122bd4f6e，

所以6ec8aac122bd4f6e.           ………………（1分）

（i）當6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e.

（ii）當6ec8aac122bd4f6e時，由6ec8aac122bd4f6e，得到6ec8aac122bd4f6e，知在6ec8aac122bd4f6e上6ec8aac122bd4f6e.

（iii）當6ec8aac122bd4f6e時，由6ec8aac122bd4f6e，得到6ec8aac122bd4f6e，知在6ec8aac122bd4f6e上6ec8aac122bd4f6e.

綜上，當6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e遞增區(qū)間為6ec8aac122bd4f6e；當6ec8aac122bd4f6e時, 6ec8aac122bd4f6e遞增區(qū)間為6ec8aac122bd4f6e.                   ………………………………………（4分）

（Ⅱ）（i）因為6ec8aac122bd4f6e，

所以6ec8aac122bd4f6e，即6ec8aac122bd4f6e，

6ec8aac122bd4f6e，即6ec8aac122bd4f6e.     ……………………………………（6分）

因為6ec8aac122bd4f6e，

當6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e，

當6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e，

所以6ec8aac122bd4f6e.                  …………………………（8分）

又因為6ec8aac122bd4f6e，

所以令6ec8aac122bd4f6e，則6ec8aac122bd4f6e

得到6ec8aac122bd4f6e與6ec8aac122bd4f6e矛盾，所以6ec8aac122bd4f6e不在數列6ec8aac122bd4f6e中.    ………（9分）

（ii）充分性：若存在整數6ec8aac122bd4f6e，使6ec8aac122bd4f6e.

設6ec8aac122bd4f6e為數列6ec8aac122bd4f6e中不同的兩項，則6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e.

又6ec8aac122bd4f6e且6ec8aac122bd4f6e,所以6ec8aac122bd4f6e.

即6ec8aac122bd4f6e是數列6ec8aac122bd4f6e的第6ec8aac122bd4f6e項.           ……………………（10分）

必要性：若數列6ec8aac122bd4f6e中任意不同兩項之和仍為數列6ec8aac122bd4f6e中的項，

則6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e，（6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e為互不相同的正整數）

則6ec8aac122bd4f6e，令6ec8aac122bd4f6e，

得到6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e，

所以6ec8aac122bd4f6e，令整數6ec8aac122bd4f6e，所以6ec8aac122bd4f6e.　……（11 分）

下證整數6ec8aac122bd4f6e

若設整數6ec8aac122bd4f6e則6ec8aac122bd4f6e.令6ec8aac122bd4f6e，

由題設取6ec8aac122bd4f6e使6ec8aac122bd4f6e

即6ec8aac122bd4f6e，所以6ec8aac122bd4f6e

即6ec8aac122bd4f6e與6ec8aac122bd4f6e相矛盾，所以6ec8aac122bd4f6e.

綜上, 數列6ec8aac122bd4f6e中任意不同兩項之和仍為數列6ec8aac122bd4f6e中的項的充要條件是存在整數6ec8aac122bd4f6e，使6ec8aac122bd4f6e.                          ……………………（14分）

21. （1）本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換等基本知識，考查運算求解能力， 滿分7分.

解：6ec8aac122bd4f6e ，即6ec8aac122bd4f6e ，

所以6ec8aac122bd4f6e  得6ec8aac122bd4f6e              ……………………（4分）

     即M=6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e  ，由6ec8aac122bd4f6e得6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e.

或6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e=16ec8aac122bd4f6e , 6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e.           …………………（7分）

（2）本題主要考查圓極坐標方程和直線參數方程等基本知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想. 滿分7分.

解：曲線6ec8aac122bd4f6e的極坐標方程6ec8aac122bd4f6e可化為6ec8aac122bd4f6e,

其直角坐標方程為6ec8aac122bd4f6e，即6ec8aac122bd4f6e.      ……………（2分）

直線6ec8aac122bd4f6e的方程為6ec8aac122bd4f6e.

所以，圓心到直線6ec8aac122bd4f6e的距離6ec8aac122bd4f6e          ……………………（5分）

所以，6ec8aac122bd4f6e的最小值為6ec8aac122bd4f6e.                  …………………………（７分）

（3）本題主要考查柯西不等式與不等式解法等基本知識，考查化歸與轉化思想. 滿分7分.

解：由柯西不等式：

6ec8aac122bd4f6


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