（Ⅰ）已知函數(shù)f(x)=

x

x+1

．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a_n＞0，a₁=1，且

an+1

=f(

an

)，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=

2

2

[

1

an

+(

2

+1)n]．求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；并判斷b₄+b₆是否仍為數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)？若是，請(qǐng)證明；否則，說(shuō)明理由．
（Ⅱ）設(shè){c_n}為首項(xiàng)是c₁，公差d≠0的等差數(shù)列，求證：“數(shù)列{c_n}中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列{c_n}中的項(xiàng)”的充要條件是“存在整數(shù)m≥-1，使c₁=md”．

如圖，在底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是側(cè)棱CC₁上的一點(diǎn)，CP=m．
（Ⅰ）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60°；
（Ⅱ）在線段A₁C₁上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的m，D₁Q⊥AP，并證明你的結(jié)論．

證明：過(guò)拋物線y=a（x-x₁）•（x-x₂）（a≠0，x₁＜x₂）上兩點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）的切線，與x軸所成的銳角相等．

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，E、F是AA₁、AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：直線EE₁∥平面FCC₁；
（Ⅱ）求二面角B-FC₁-C的余弦值．

等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意的n∈N⁺，點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)的圖象上．
（Ⅰ）求r的值．
（Ⅱ）當(dāng)b=2時(shí)，記b_n=2（log₂a_n=1）（n∈N⁺），證明：對(duì)任意的，不等式成立

b1+1

b1

•

b2+1

b2

•…

bn+1

bn

＞

n+1

．