把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF 疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O 重合，其中∠ABC=∠DEF=90^。，∠C=∠F=45^。，AB=DE=4把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q。
（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證△APD∽△CDQ，此時(shí)AP﹒CQ的值為（    ）。將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α。 其中0^。<α<90^。 ，則 AP﹒CQ的值是否會(huì)改變？答：（   ）（填“會(huì)”或“不會(huì)”）此時(shí)AP﹒CQ的值為（     ）（不必說(shuō)明理由）
（2）在（1）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式.（圖2、圖3供解題用）
（3）在（1）的條件下，PQ能否與AC平行？若能，求出y的值；若不能，試說(shuō)明理由。

直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的頂點(diǎn)C，CA=CB，E、F是直線CD上兩點(diǎn)，∠BEC=∠CFA=∠α。
（1）若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，且點(diǎn)E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：
①如圖（1），若∠BCA=90°，∠α=90°，則EF______|BE-AF|（填 “<”“>”或“=”）；
②如圖（2），當(dāng)0°<∠BCA< 180°時(shí)，若使①中的結(jié)論仍然成立，則∠α與∠BCA應(yīng)滿足的關(guān)系是____；
（2）如圖（3），若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，且∠α=∠BCA，請(qǐng)?zhí)骄縀F、BE、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明。

某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：設(shè)∠BAC=θ（0°<θ<90°）現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB、AC之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上，
活動(dòng)一：如圖甲所示，從點(diǎn)A₁開(kāi)始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點(diǎn)處互相垂直，A₁A₂為第1根小棒，數(shù)學(xué)思考：   
（1）小棒能無(wú)限擺下去嗎？答：（     ）（填“能”或“不能”）
（2）設(shè)AA₁= A₁A₂= A₂A₃=1.    
 ①θ=（     ）；  
 ②若記小棒A_2n-1A_2n的長(zhǎng)度為a_n（n 為正整數(shù)，如A₁A₂ =a，A₃A₄=a₂），
求此時(shí)a₂，a₃ 的值，并直按寫(xiě)出a_n（用含n 的式子表示）                           
活動(dòng)二：如圖乙所示，從點(diǎn)A₁開(kāi)始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中A_lA₂為第1根小棒，
且A_lA₂=AA₁ ，數(shù)學(xué)思考：    
（3）若已經(jīng)向右擺放了3根小棒，則θ₁ =（     ）；θ₂ =（     ）；θ₃ =（     ）；（用含θ的式子表示）
（4）若只能擺放4根小棒，求θ的范圍。

設(shè)一個(gè)銳角與這個(gè)角的補(bǔ)角的差的絕對(duì)值為α，則