如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為A，與x軸交于O，B兩點，點P（m，0）是線段OB上一動點，過點P作y軸的平行線，交直線y=于點E，交拋物線于點F，以EF為一邊，在EF的左側(cè)作矩形EFGH．若FG=，則當矩形EFGH與△OAB重疊部分為軸對稱圖形時，m的取值范圍為________．

如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點P到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O，M兩點，OM=4，矩形ABCD的邊BC在線段OM上，點A，D在拋物線上．
（1）寫出P，M兩點的坐標，并求出拋物線的函數(shù)表達式；
（2）設(shè)矩形ABCD的周長為L，求L的最大值；
（3）當矩形ABCD的周長最大時，在拋物線的對稱軸上是否存在點E，使得△DME的周長最��？如果存在，請寫出E點坐標及△DME的周長最小值；如果不存在，請簡要說明你的理由．

在平面直角坐標系中，拋物線的頂點坐標為（1，-4），交x軸于A、B兩點（A點在B點的左邊），交y軸于點C，已知A、B兩點之間的距離為4．
（1）求這個拋物線的解析式及C點坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使點P到B、C兩點間的距離之差最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在x軸上方平行于x軸的一條直線y=m交拋物線于M、N兩點，在x軸上是否存在一點Q，使△QMN為等腰直角三角形？若存在，求出相對應的m值；若不存在，請說明理由．