已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．且點(diǎn)E在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設(shè)BE的長為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；
（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；
（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1：3兩部分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由．
解：

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，點(diǎn)Q從C開始沿CD邊向D移動，速度是每秒1厘米，點(diǎn)P從A開始沿AB向B移動，速度是點(diǎn)Q速度的a倍，如果點(diǎn)P，Q分別從A，C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時運(yùn)動停止．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．已知當(dāng)t=

3

2

時，四邊形APQD是平行四邊形．
（1）求a的值；
（2）線段PQ是否可能平分對角線BD？若能，求t的值，若不能，請說明理由；
（3）若在某一時刻點(diǎn)P恰好在DQ的垂直平分線上，求此時t的值．