16．右圖是求數列前10項中最大項的程序框圖.①.②處分別應該填上 . . 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、數學教育家.他的數學著作頗多,他編著的數學書共5種21卷,在他的著作中收錄了不少現已失傳的古代數學著作中的算題和算法.他的數學研究與教育工作的重點是在計算技術方面.楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果,它的許多性質與組合數的性質有關,楊輝三角中蘊涵了許多優(yōu)美的規(guī)律.古今中外,許多數學家如賈憲、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過,并將研究結果應用于其他工作.下圖是一個11階的楊輝三角:

 

試回答:(其中第(1)&(5)小題只需直接給出最后的結果,無需求解過程)

(1)記第i(i∈N*)行中從左到右的第j(j∈N*)個數為aij,則數列{aij}的通項公式為          ,

n階楊輝三角中共有           個數;

(2)第k行各數的和是;

(3)n階楊輝三角的所有數的和是;

(4)將第n行的所有數按從左到右的順序合并在一起得到的多位數等于;

(5)第p(p∈N*,且p≥2)行除去兩端的數字1以外的所有數都能被p整除,則整數p一定為(   )

A.奇數                B.質數              C.非偶數                D.合數

(6)在第3斜列中,前5個數依次為1、3、6、10、15;第4斜列中,第5個數為35.顯然,1+3+6+10+15=35.事實上,一般地有這樣的結論:

第m斜列中(從右上到左下)前k個數之和,一定等于第m+1斜列中第k個數.

試用含有m、k(m、k∈N*)的數學公式表示上述結論并證明其正確性.

數學公式為                   .

證明:                        .

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

A

C

A

B

D

B

D

C

A

C

二、填空題

13．30°   14．6ec8aac122bd4f6e    15．-0.61    16．6ec8aac122bd4f6e

三、解答題

17．解：（I）6ec8aac122bd4f6e

       即6ec8aac122bd4f6e中出現3個1，2個0         2分

       所以6ec8aac122bd4f6e       6分

   （II）（法一）設Y=X-1，

       由題知6ec8aac122bd4f6e        9分

       所以6ec8aac122bd4f6e      12分

   （法二）X的分布列如下：

X

1

2

3

4

P（X）

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

X

5

6

 

P（X）

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

 

    ……10服

       所以6ec8aac122bd4f6e…………12分

18．解：（I）由三視圖可得，三棱錐A―BCD中

       6ec8aac122bd4f6e都等于90°，

       每個面都是直角三角形；

       可得6ec8aac122bd4f6e面ADB，所以6ec8aac122bd4f6e……2分

       又6ec8aac122bd4f6e，所以6ec8aac122bd4f6e面ABC，

       所以DE6ec8aac122bd4f6eAC，       4分

       又DF6ec8aac122bd4f6eAC，所以AC6ec8aac122bd4f6e面DEF。   6分

  

 

 

 

（II）方法一：由（I）知6ec8aac122bd4f6e為二面角B―AC―D的平面角，    9分

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       6ec8aac122bd4f6e

       6ec8aac122bd4f6e

       6ec8aac122bd4f6e   12分

       方法二：過B作6ec8aac122bd4f6eCD于O，

       過O作OM6ec8aac122bd4f6eAC于M，連結BM，

       因為AD6ec8aac122bd4f6e面BDC，所以ADC6ec8aac122bd4f6e面BDC。

       所以BO6ec8aac122bd4f6e面ADC，

       由三垂線定理可得6ec8aac122bd4f6e為二面角B―AC―D的平面角，   9分

       可求得6ec8aac122bd4f6e

       所以6ec8aac122bd4f6e，

       所以6ec8aac122bd4f6e       12分

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        1. 
   
          
    
    
          
    
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          方法三：如圖，以DB為x軸，
                 過D作BC的不行線這y軸，DA為z軸建立空間直角坐標系。
                 所以6ec8aac122bd4f6e      8分
                 設面DAC的一個法向量為6ec8aac122bd4f6e，
                 則6ec8aac122bd4f6e
                 則6ec8aac122bd4f6e
                 設面BAC的一個法向量為6ec8aac122bd4f6e，
                 則6ec8aac122bd4f6e
                 則6ec8aac122bd4f6e       10分
                 所以6ec8aac122bd4f6e，
                 因為二面角B―AC―D為銳角，
                 所以二面角B―AC―D的大小為6ec8aac122bd4f6e       12分
          19．解：（Ⅰ）設動點M的坐標為
          6ec8aac122bd4f6e，
                 6ec8aac122bd4f6e
                 即6ec8aac122bd4f6e………………2分
             （Ⅱ）①在6ec8aac122bd4f6e中分別令
                 6ec8aac122bd4f6e……………3分
          設6ec8aac122bd4f6e，
          由6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e………………4分
                 6ec8aac122bd4f6e，
                 所以6ec8aac122bd4f6e
                 即6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e………………6分
                 ②6ec8aac122bd4f6e
                                          6ec8aac122bd4f6e……………7分
          點N到CD的距離6ec8aac122bd4f6e……………8分
          6ec8aac122bd4f6e…………………9分
          6ec8aac122bd4f6e
                 當且僅當6ec8aac122bd4f6e時等號成立，
                 即6ec8aac122bd4f6e，此時6ec8aac122bd4f6e，
          所以直線的方程為6ec8aac122bd4f6e…………………12分
          20．證明：（I）先證6ec8aac122bd4f6e
                 法一：6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e
                 法二：①6ec8aac122bd4f6e；
                 ②假設6ec8aac122bd4f6e時命題成立，
                 即6ec8aac122bd4f6e
                 所以6ec8aac122bd4f6e時命題也成立。
                 綜合①②可得6ec8aac122bd4f6e      2分
                 再證6ec8aac122bd4f6e
                 ①6ec8aac122bd4f6e；
                 ②假設6ec8aac122bd4f6e時命題成立，即6ec8aac122bd4f6e，
                 則6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e
                 所以6ec8aac122bd4f6e時命題也成立。
                 綜合①②可得6ec8aac122bd4f6e         6分
             （II）6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e
                 故數列6ec8aac122bd4f6e單調遞減            
9分
                 6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e
                 又6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e
                 即6ec8aac122bd4f6e       12分
          21．解：（I）因為6ec8aac122bd4f6e，所以
                 方法一：6ec8aac122bd4f6e     2分
                 因為6ec8aac122bd4f6e上是增函數，
                 所以6ec8aac122bd4f6e上恒成立，
                 即6ec8aac122bd4f6e上恒成立，
                 所以6ec8aac122bd4f6e      4分
                 又6ec8aac122bd4f6e存在正零點，
                 故6ec8aac122bd4f6e。
                 即6ec8aac122bd4f6e
                 所以6ec8aac122bd4f6e       6分
                 方法二：6ec8aac122bd4f6e     2分
                 因為6ec8aac122bd4f6e上是增函數，
                 所以6ec8aac122bd4f6e上恒成立，
                 若6ec8aac122bd4f6e，
                 于是6ec8aac122bd4f6e恒成立。
                 又6ec8aac122bd4f6e存在正零點，
                 故6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e與6ec8aac122bd4f6e
                 即6ec8aac122bd4f6e矛盾，
                 所以6ec8aac122bd4f6e      4分
          由6ec8aac122bd4f6e恒成立，
          又6ec8aac122bd4f6e存在正零點，
          故6ec8aac122bd4f6e
          所以6ec8aac122bd4f6e即6ec8aac122bd4f6e       6分            
             （II）結論6ec8aac122bd4f6e理由如下：
                 由（I），
                 6ec8aac122bd4f6e
                 所以6ec8aac122bd4f6e      7分
                 方法一：6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e        8分
                 令6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e上，6ec8aac122bd4f6e
                 所以6ec8aac122bd4f6e上為增函數        
10分
                 當6ec8aac122bd4f6e
                 即6ec8aac122bd4f6e
                 從而6ec8aac122bd4f6e得到證明。      12分
                 方法二：
          6ec8aac122bd4f6e，
                 6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e       8分
                 令6ec8aac122bd4f6e，
                 作函數6ec8aac122bd4f6e
                 令6ec8aac122bd4f6e
                 當6ec8aac122bd4f6e       10分
                 6ec8aac122bd4f6e，
                 所以當6ec8aac122bd4f6e，
                 即6ec8aac122bd4f6e
                 所以6ec8aac122bd4f6e      12分
          22．證明：（I）6ec8aac122bd4f6e⊙O切BC于D，
                 6ec8aac122bd4f6e       2分
                 6ec8aac122bd4f6e的角平分線，
                 6ec8aac122bd4f6e
                 又6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e      4分
             （II）連結DE，
                 6ec8aac122bd4f6e⊙O切BC于D，
                 6ec8aac122bd4f6e       5分
                 由（I）可得6ec8aac122bd4f6e
                 又6ec8aac122bd4f6e⊙O內接四邊形AEDF，
                 6ec8aac122bd4f6e∽6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e分
                 又6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e       10分
          23．解：（I）把6ec8aac122bd4f6e化為普通方程為
                 6ec8aac122bd4f6e      2分
                 把6ec8aac122bd4f6e化為直角坐標系中的方程為
                 6ec8aac122bd4f6e       4分
                 6ec8aac122bd4f6e圓心到直線的距離為6ec8aac122bd4f6e       6分
             （II）由已知6ec8aac122bd4f6e       8分
                 6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e       10分
          24．證明：法一：6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e      
                 6ec8aac122bd4f6e 
5分
                 6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e        10
                 法二：
                 6ec8aac122bd4f6e
                 6ec8aac122bd4f6e      5分
                 6ec8aac122bd4f6e
              6ec8aac122bd4f6e        10分
           
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