某班級舉行一次知識競賽活動，活動分為初賽和決賽兩個階段、現(xiàn)將初賽答卷成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進行統(tǒng)計，制成如下頻率分布表．

（1）填充頻率分布表中的空格（在解答中直接寫出對應(yīng)空格序號的答案）；
（2）決賽規(guī)則如下：參加決賽的每位同學(xué)依次口答4道小題，答對2道題就終止答題，并獲得一等獎．如果前三道題都答錯，就不再答第四題．某同學(xué)進入決賽，每道題答對的概率P的值恰好與頻率分布表中不少于80分的頻率的值相同．
①求該同學(xué)恰好答滿4道題而獲得一等獎的概率；
②記該同學(xué)決賽中答題個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

第16題圖

（2）因為三角形AOB為正三角形，所以，

，，       -----------------------------6分

所以=

     -------------------------10分

=.    --------------------------------------12分

17、（本題滿分12分）

如圖，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，

（Ⅰ）求證:平面；

（Ⅱ）求四棱錐的體積.

（Ⅰ）因為四棱錐的底面是邊長為1的正方形，

所以，所以              ------------4分

又，

所以平面                        --------------------------------------8分

（Ⅱ）四棱錐的底面積為1，

因為平面，所以四棱錐的高為1，

所以四棱錐的體積為.                         --------------------12分

18.（本小題滿分14分）

分組

頻數(shù)

頻率

50.5~60.5

4

0.08

60.5~70.5

0.16

70.5~80.5

10

80.5~90.5

16

0.32

90.5~100.5

合計

50

為了讓學(xué)生了解環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”，共有900名學(xué)生參加了這次競賽. 為了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進行統(tǒng)計. 請你根據(jù)尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖，解答下列問題：

（Ⅰ）填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi))；

（Ⅱ）補全頻數(shù)條形圖；

（Ⅲ）若成績在75.5~85.5分的學(xué)生為二等獎，問獲得二等獎的學(xué)生約為多少人？

解：(1)

分組

頻數(shù)

頻率

50.5~60.5

4

0.08

60.5~70.5

8

0.16

70.5~80.5

10

0.20

80.5~90.5

16

0.32

90.5~100.5

12

0.24

合計

50

1.00

---------------------4分

(2) 頻數(shù)直方圖如右上所示--------------------------------8分

(3) 成績在75.5~80.5分的學(xué)生占70.5~80.5分的學(xué)生的，因為成績在70.5~80.5分的學(xué)生頻率為0.2 ，所以成績在76.5~80.5分的學(xué)生頻率為0.1 ，---------10分

成績在80.5~85.5分的學(xué)生占80.5~90.5分的學(xué)生的，因為成績在80.5~90.5分的學(xué)生頻率為0.32 ，所以成績在80.5~85.5分的學(xué)生頻率為0.16  -------------12分

所以成績在76.5~85.5分的學(xué)生頻率為0.26，

由于有900名學(xué)生參加了這次競賽，

所以該校獲得二等獎的學(xué)生約為0.26´900=234（人）       ------------------14分

19．（本小題滿分14分）

拋物線的準(zhǔn)線的方程為，該拋物線上的每個點到準(zhǔn)線的距離都與到定點N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時與直線 相切的圓，

（Ⅰ）求定點N的坐標(biāo)；

（Ⅱ）是否存在一條直線同時滿足下列條件：

① 分別與直線交于A、B兩點，且AB中點為；

② 被圓N截得的弦長為2；

解：（1）因為拋物線的準(zhǔn)線的方程為

所以，根據(jù)拋物線的定義可知點N是拋物線的焦點，             -----------2分

所以定點N的坐標(biāo)為                              ----------------------------3分

（2）假設(shè)存在直線滿足兩個條件，顯然斜率存在，                -----------4分

設(shè)的方程為，                   ------------------------5分

以N為圓心，同時與直線 相切的圓N的半徑為， ----6分

方法1：因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，   -------7分

即，解得，                -------------------------------8分

當(dāng)時，顯然不合AB中點為的條件，矛盾！            --------------9分

當(dāng)時，的方程為               ----------------------------10分

由，解得點A坐標(biāo)為，               ------------------11分

由，解得點B坐標(biāo)為，          ------------------12分

顯然AB中點不是，矛盾！                ----------------------------------13分

所以不存在滿足條件的直線．                 ------------------------------------14分

方法2：由，解得點A坐標(biāo)為，      ------7分

由，解得點B坐標(biāo)為，        ------------8分

因為AB中點為，所以，解得，     ---------10分

所以的方程為，

圓心N到直線的距離，                   -------------------------------11分

因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！   ----13分

所以不存在滿足條件的直線．               -------------------------------------14分

方法3：假設(shè)A點的坐標(biāo)為，

因為AB中點為，所以B點的坐標(biāo)為，         -------------8分

又點B 在直線上，所以，                ----------------------------9分

所以A點的坐標(biāo)為，直線的斜率為4，

所以的方程為，                    -----------------------------10分

圓心N到直線的距離，                     -----------------------------11分

因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！ ---------13分

所以不存在滿足條件的直線．              ----------------------------------------14分

20．（本小題滿分14分）

觀察下列三角形數(shù)表

                         1            -----------第一行

                       2    2         -----------第二行

                     3   4    3       -----------第三行

                   4   7    7   4     -----------第四行

                 5   11  14  11   5

…    …     　…    　 …

          …    …   　…    　…      …

假設(shè)第行的第二個數(shù)為，

（Ⅰ）依次寫出第六行的所有個數(shù)字；

（Ⅱ）歸納出的關(guān)系式并求出的通項公式；

（Ⅲ）設(shè)求證：

解：（1）第六行的所有6個數(shù)字分別是6，16，25，25，16，6； --------------2分

（2）依題意，   -------------------------------5分

    ------------------------7分

，

所以；    -------------------------------------9分

（3）因為所以  -------------11分

---14分

21．（本小題滿分14分）

已知函數(shù)取得極小值.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）設(shè)直線. 若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：（1）直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；（2）對任意x∈R都有. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”.

試證明：直線是曲線的“上夾線”.

解：（I）因為，所以                        ---------------1分

，                  -------------------------------2分

解得，      --------------------------------------------------------------------3分

此時，

當(dāng)時，當(dāng)時，                   -------------------------5分

所以時取極小值，所以符合題目條件；                  ----------------6分

（II）由得，

當(dāng)時，，此時，，

，所以是直線與曲線的一個切點；                     -----------8分

當(dāng)時，，此時，，

，所以是直線與曲線的一個切點；                     -----------10分

所以直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；

對任意x∈R，，

所以      ---------------------------------------------------------------------13分

因此直線是曲線的“上夾線”.     ----------14分