Question

自然數(shù)n是1，2，3，…，10的公倍數(shù)，而且它恰有72個(gè)約數(shù)，n的最小值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：最大與最小

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：滿足是1，2，3，…10的公倍數(shù)這個(gè)條件的最小自然數(shù)是5×7×8×9=2520．但2520有48個(gè)約數(shù)，要滿足有72個(gè)約數(shù)的條件，需要增加質(zhì)因數(shù)的指數(shù)，把質(zhì)因數(shù)2的指數(shù)由3增加到5，這個(gè)自然數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為（5+1）×（2+1）×（1+1）×（1+1）=72個(gè)，那么所求自然數(shù)即2520×4=10080．解決問題．

解答： 解：滿足是1，2，3，…10的公倍數(shù)這個(gè)條件的最小自然數(shù)是5×7×8×9=2520．
但2520有48個(gè)約數(shù)，要滿足有72個(gè)約數(shù)的條件，這個(gè)自然數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)應(yīng)為（5+1）×（2+1）×（1+1）×（1+1）=72個(gè)，那么所求自然數(shù)即2520×4=10080．
答：n的最小值是10080．

點(diǎn)評：本題考查的是質(zhì)因數(shù)的分解，熟知正整數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)定理是解答此題的關(guān)鍵．