Question

觀察下面按規(guī)律排起的一列數(shù)：

1

1

，

1

2

，

2

1

，

1

3

，

2

2

，

3

1

，

1

4

，

2

3

，

3

2

，

4

1

，

1

5

，

2

4

，

3

3

，

4

2

，

5

1

，

1

6

…
（1）若將左起第m個數(shù)記為F（m），當F（m）=

2

2001

時，求m的值和這個m個數(shù)的積．
（2）在此列數(shù)中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為a，他后面的一個數(shù)記為b，且存在這樣的兩個數(shù)a和b，使ab=2001000，求出a和b．

Answer 1

考點：數(shù)列中的規(guī)律

專題：探索數(shù)的規(guī)律

分析：（1）分子依次為1，1，2，1，2，3，1，2，3，4…
分母依次為1，2，1，3，2，1，4，3，2，1…
即每一次以分子是1開始的分為一組，分母則與分子是倒過來，直到分母變成1；
第1個分子分母和為2，1個分數(shù)，
第2，3個分子分母和為3，分子從1到2，2個分數(shù)，
第4，5，6個分子分母和為4，分子從1到3，3個分數(shù)
…
每組中各個分數(shù)的分子與分母的和是相等的，分子與分母的和是n時，這組有n-1個數(shù)；
F（m）=

2

2001

時，分子與分母的和是2+2001=2003，所以F（m）=

2

2001

之前這組只有一個分數(shù)是

1

2002

，前面一組的分子與分母的和是2002，所以在F（m）=

2

2001

時，有1+2+3…+2001+2個分數(shù)；

1

1

=1，

1

2

×

2

1

=1，

1

3

×

2

2

×

3

1

=1，

1

4

×

2

3

×

3

2

×

4

1

=1，
每組數(shù)的乘積都是1，那么F（m）=

2

2001

時，所有數(shù)的乘積就是

1

2002

×

2

2001

；
（2）先設第n組a=

n-1

2

，則d=

n

1

，根據(jù)ab=2001000，列方程求解即可．

解答： 解：分組：（

1

1

），（

1

2

，

2

1

），（

1

3

，

2

2

，

3

1

），（

1

4

，

2

3

，

3

2

，

4

1

），（

1

5

，

2

4

，

3

3

，

4

2

，

5

1

），（

1

6

…）…（

1

2002

，

2

2001

，…

2002

1

）每組數(shù)的積都是1；
F（m）=

2

2001

時，
m=1+2+3…+2001+2
=（1+2001）×2001÷2+2
=2002×2001÷2+2
=2003001+2
=2003003；

這些數(shù)的積是：

1

2002

×

2

2001

=

1

2003001

；

（2）a為某組倒數(shù)第二個數(shù)，b為該組最后一個數(shù)，
設它們在第n組a=a=

n-1

2

，則d=

n

1

，根據(jù)ab=2001000，
則

n(n-1)

2

=2001000，
a=

2000

2

，
b=

2001

1

．

點評：本題考查了數(shù)列分組的解題思路，解題關鍵是得出每組分數(shù)對應的分子和分母．