Question

【題目】一個兩位數(shù)被它的各位數(shù)字之和去除，問余數(shù)最大是多少?

Answer 1

【答案】15

【解析】設(shè)這個兩位數(shù)為=lOa+b，它們的數(shù)字和為a+b,因為lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，

設(shè)最大的余數(shù)為k，有9a≡k(mod a+b)．

特殊的當(dāng)a+b為18時，有9a=k+18m，因為9a、18m均是9的倍數(shù)，那么k也應(yīng)是9的倍數(shù)且小于除數(shù)18，即0，9，也就是說余數(shù)最大為9；

所以當(dāng)除數(shù)a+b不為18，即最大為17時，

第一種情況：余數(shù)最大為16，除數(shù)a+b只能是17，此時有9a=15+17m，有 (t為可取0的自然數(shù))，而a是一位數(shù)，顯然不滿足；

第二種情況：余數(shù)其次為15，除數(shù)a+b只能是17或16，

除數(shù)a+b=17時，有9a=15+17m,有,(t為可取0的自然數(shù))，a是一位數(shù)，顯然也不滿足；

除數(shù)a+b=16時，有9a=15+16m,有(t為可取0的自然數(shù))，因為a是一位數(shù)，所以a只能取7，對應(yīng)b為16-7=9，滿足；

所以最大的余數(shù)為15，此時有兩位數(shù)79÷(7+9)=4……15．