Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，ABPA′B′，BCPB′C′，ACPA′C′，且三對平行線的距離都是1，若AC=10，AB=8，BC=6，求三角形A′B′C′上的點到三角形ABC三邊距離的最大值．

Answer 1

分析：設(shè)該點為P，若點P在A′C′上，設(shè)該點到AB邊和BC邊的距離分別為a，b，則該點到三角形ABC的三邊距離之和為a+b+1，連接AP、BP、CP，由于三角PAB，PBC，PAC面積和為24，于是有5+3b+4a=24可得b=

19-4a

3

，a+b+1=

22-a

3

然后再分情況進行討論．

解答：解：設(shè)設(shè)點為P，若點P在A′C′上，設(shè)該點到AB邊和BC邊的距離分別為a，b，則該點到三角形ABC的三邊距離之和為a+b+1（1），連接AP、BP、CP，由于三角PAB，PBC，PAC面積和為24，于是有5+3b+4a=24可得b=

19-4a

3

，a+b+1=

22-a

3

然后再分情況進行討論．
當a=1時，a+b+1=7，取得最大值7；
若點P在B′C′邊上，則同樣方法可得a+c+=

a+26

5

＜

6+26

5

＜7．
若點P在A′B′邊上，則同樣方法可得b+c+1=

2

5

b+5，而易得b最大是5，所以此時距離和的最大值也是7．
綜上，三角形A′B′C′上的點到三角形ABC三邊距離的最大值是7；
答：三角形A′B′C′上的點到三角形ABC三邊距離的最大值是7．

點評：本題的重點是分P點在不同邊上時的情況進行討論．