Question

對(duì)干自然數(shù)a，S_a表示a的各位數(shù)字之和．求同時(shí)滿足下列條件的所有的自然數(shù)．
（1）a為奇數(shù)，且不是3的倍數(shù)；（2）

a

Sa

=m＜50，m為自然數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)字問題

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：可先從條件（1）a為奇數(shù)，且不是3的倍數(shù)入手，假如a是一位數(shù)，那么（2）顯然滿足（

a

Sa

=1），由（1），a=1，5，7．假如a是兩位數(shù)，設(shè)十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，則

a

Sa

=

10x+y

x+y

=1+

9x

x+y

，由于a不是3的倍數(shù)，所以Sa也不是3的倍數(shù)．但

a

Sa

=m是自然數(shù)，所以

9x

x+y

是自然數(shù)，即9x被x+y整除．因?yàn)镾a=x+y不是3的倍數(shù)，即x+y與9互質(zhì)，所以x被x+y整除．但a是奇數(shù)，所以y≠O，x＜x+y，x不可能被x+y整除．因此a不可能是兩位數(shù)．以此類推即可得到答案．

解答： 解：如果a是一位數(shù)，那么（2）顯然滿足（

a

Sa

=1），由（1），a=1，5，7．
如果a是兩位數(shù)，設(shè)十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，則

a

Sa

=

10x+y

x+y

=1+

9x

x+y

由于a不是3的倍數(shù)，所以Sa也不是3的倍數(shù)．但

a

Sa

=m是自然數(shù)，所以

9x

x+y

是自然數(shù)，即9x被x+y整除．因?yàn)镾a=x+y不是3的倍數(shù)，即x+y與9互質(zhì)，所以x被x+y整除．但a是奇數(shù)，所以y≠O，x＜x+y，x不可能被x+y整除．因此a不可能是兩位數(shù)．
如果a是四位以上的數(shù)，設(shè)a=1000x+100y十10z+u，其中y，z，u都是數(shù)字，x是自然數(shù)，則Sa≤x+y+z+u，由（2），1000x十1OOy+10z+u＜50（x+y十z十u）
于是950＜950x+50y＜40z+50u＜400+500=900矛盾，因此a不可能是四位以上的數(shù)．
如果a是三位數(shù)，設(shè)a=1OOx+1Oy+1Oz，x、y、z都是數(shù)字，x≠0，則Sa=x+y+z，
m=

100x+10y+z

x+y+z

=10+

90x-9z

x+y+z

=10+

9(10x-z)

x+y+z

與前面的推理相同，

9(10x-z)

x+y+z

是奇數(shù)，而且由于，m＜50，所以 

10x-z

x+y+z

＜

40

9

＜5，
從而，

10x-z

x+y+z

=1或3（1）
以下分兩種情況來求（1）的解
（a）1Ox-z=x+y+z，即 9x=y+2z（2）
在x=1時(shí)，由（2）可得z=1，y=7或者z=3，y=3（注意a為奇數(shù)，所以z是奇數(shù)），其中第一組得出a=117是3的倍數(shù)不合要求．
在x=2時(shí)，由（2）可得z=5，y=8（不合要求）；z=7，y=4；z=9，y=0．
在x=3時(shí)，由（2）得x=y=9不合要求．
由于y+2z≤9十2×9=27，所以x不可能大于3
（b）1Ox-z=3（x+y+z），即 7x=3y+4z
同樣，令x=1，2，…，9逐一檢驗(yàn)，得出x=4時(shí)，z=7，y=0；z=1，y=8，x=6時(shí)，z=9，y=2
于是本題的解為：1，5，7，133，247，209，407，481，629

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)字問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)a為奇數(shù)，且不是3的倍數(shù)，再根據(jù)第二個(gè)條件分一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)以此類推得到答案．