Question

有15位同學，每位同學都有個編號，他們的編號是1號到15號．1號同學寫了一個自然數(shù)，2號說：“這個數(shù)能被2整除”，3號接著說：“這個數(shù)能被3整除”…依此下去，每位同學都說，這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除．1號一一作了驗證：只有兩個同學（他們的編號是連續(xù)的）說得不對，其余同學都對．問：
（1）說的不對的兩位同學他們的編號是哪兩個連續(xù)的自然數(shù)？
（2）如果1號同學寫的自然數(shù)是一個五位數(shù)，那么這個自然數(shù)為多少？

Answer 1

考點：數(shù)字問題

專題：整除性問題

分析：（1）首先可以判定編號是2、3、4、5、6、7號的同學說的一定都對．不然，其中說得不對的編號乘以2后所得編號也將說得不對．這個數(shù)能同時被2、5，3，4和2、7整除，則一定能被10、12、14整除，從而編號為10、12、14的同學說得對．由“兩個連續(xù)編號的同學說得錯“知，11，13，15號也說得對．因此，說的不對的兩個同學的編號是8和9．
（2）這個數(shù)是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍數(shù)，因為[2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15]=60060．因為60060是一個五位數(shù)，而上述12個數(shù)的其它公倍數(shù)不是五位數(shù)，所以1號同學寫的數(shù)就是60060．

解答： 解：（1）根據(jù)2號～15號同學所述結論，將合數(shù)4，6，（15分）解質因數(shù)后，由1號同學驗證結果，進行分析推理得出問題的結論．
4=2²，6=2×3，8=2³，9=3²，10=2×5，12=2²×3，14=2×7，15=3×5．
由此不難斷定說得不對的兩個同學的編號是8與9兩個連續(xù)自然數(shù)（可逐次排除，只有8與9滿足要求）．
（2）1號同學所寫的自然數(shù)能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15這12個數(shù)整除，也就是它們的公倍數(shù)．它們的最小公倍數(shù)是2²×3×5×7×11×13=60060．
因為60060是一位五位數(shù)，而這12個數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號同學寫的五位數(shù)是60060．

點評：此題考查了學生數(shù)的整除特征，同時解答此題要有較強的分析推理能力．本題難度較高，應認真分析．