Question

100個杯子杯口朝上排成一行，順次從1到100編號，有100位學生，第一位學生把編號能被1整除的杯子翻一下，第二位學生把編號能被2整除的杯子翻一下，第三位學生把編號能被3整除的杯子翻一下，…，第100位學生把編號能被100整除的杯子翻一下，那么最終有

90

個杯子杯口朝上．

Answer 1

分析：這道題其實是求一個數的約數的個數，由于一個完全平方數數的個數永遠都是奇數，那么其被翻動的次數就是奇數次，這一類數有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10個，所以這些編號的杯子，都被翻動了奇數次，所以這些編號杯口都是朝下的，而除了以上10個數以外，都是非完全平方數，約數的個數是偶數，因此最后杯口都是朝上的，即最終杯口朝上的杯子有100-10=90個．

解答：解：杯口原來全部向上，
則翻動奇數次時，杯中向下，偶數次時杯口向上；
由于完全平方數約數的個數永遠都是奇數，
所以編號為、4、9、16、25、36、49、64、81、100的這10個杯子都被翻動了奇數次，
即這些編號杯口都是朝下的．
除了以上10個數以外，都是非完全平方數，約數的個數是偶數，即被翻動了偶數次，
因此最后杯口都是朝上的，即最終杯口朝上的杯子有100-10=90（個）．
故答案為：90．

點評：了解數的約數的奇偶性是完成本題的關鍵．