Question

已知從1開始連續(xù)N個自然數(shù)相乘，1×2×3…×n，乘積的末尾恰好有31×個連續(xù)的0，那么n的最大值是

129

．

Answer 1

分析：首先5、10、15、20、25、…、120與其它偶數(shù)之積的個位至少有一個0，120÷5=24個，120÷25=4個…20，24+4=28個，即連續(xù)自然數(shù)乘積1×2×3×…×120的尾部恰有28個連續(xù)的0，而125可以貢獻3個0所以1×2×3×…×n中，n的最大值是125+4=129．

解答：解：凡末位是0的數(shù)，都為乘積的尾部貢獻1個0，2×5=10，每10個連續(xù)數(shù)中，這樣就為乘積貢獻了2個零．
從1到100，乘積就有了20個0，但還有25、50、75和100，都可再貢獻1個0，這樣就有了24個0．
要再出現(xiàn)7個0，即湊成31個0，還必須出現(xiàn)105、110、115、120、125（可以多貢獻2個0），所以到125恰有乘積末尾恰有31個連續(xù)的0．
但此題問的是n的最大值，也就是說，最大到幾不會出現(xiàn)第31個0，顯然，是到129．
故n的最大值是129．
故答案為：129．

點評：明確若干個連續(xù)自然數(shù)的乘積末尾有多少個零，是由多少個因數(shù)5決定的是完成本題的關鍵．