Question

已知a與b的最大公約數(shù)是14，a與c的最小公倍數(shù)是350，b與c的最小公倍數(shù)也是350．滿足上述條件的正整數(shù)a、b、c共有多少組？

Answer 1

考點：公約數(shù)與公倍數(shù)問題

專題：整除性問題

分析：根據(jù)題意，可得14能整除a，a能整除350，14能整除b，b能整除350，因為14=2×7，350=2×7×5²，所以a=14或a=14×5=70或a=14×25=350；然后分類討論，求出滿足上述條件的正整數(shù)a、b、c共有多少組即可．

解答： 解：根據(jù)題意，可得14能整除a，a能整除350，14能整除b，b能整除350，
因為14=2×7，350=2×7×5²，
所以a=14或a=14×5=70或a=14×25=350；
（1）當a=14時，b=14或b=14×5=70或b=14×25=350，
因為a與b的最大公約數(shù)是14，
（2）所以當a=70，350時，b都只能取14，
則滿足條件的a、b共有5組：
a=14，b=14； a=14，b=70；a=14，b=350；a=70，b=14； a=350，b=14；
對于a、b的每組值，c均有4個不同的值：
25，50，175，350．
所以滿足條件的正整數(shù)a、b、c共有：5×4=20（組）
答：滿足上述條件的正整數(shù)a，b，c共有20組．

點評：此題主要考查了公約數(shù)和公倍數(shù)問題的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是弄清題意，找出各個數(shù)之間的關(guān)系．