Question

定義運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a和b，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為a⊙b．比如：10和14，最小公倍數(shù)為70，最大公約數(shù)為2，則10⊙14=70-2=68．
（1）求12⊙21，5⊙15；
（2）說(shuō)明，如果c整除a和b，則c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，則c也整除b；
（3）已知6⊙x=27，求x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)新的定義運(yùn)算，先求出12與21的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)，5與15的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)，問(wèn)題即可解決；
（2）根據(jù)整除的定義及公約數(shù)、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行說(shuō)明；
（3）由于運(yùn)算“⊙”沒(méi)有直接的表達(dá)式，解這個(gè)方程有一些困難，我們?cè)O(shè)法逐步縮小探索范圍，即根據(jù)6與x的最小公倍數(shù)不小于27+1，不大于27+6，由此即可得出答案．

解答：解：（1）因?yàn)椋?2與21的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別為84，3，
所以，12⊙21=84-3=81，
同樣道理5⊙15=15-5=10；
（2）如果c整除a和b，那么c是a和b的公約數(shù)，則c整除a，b的最大公約數(shù)，顯然c也整除a，b最小公倍數(shù)，
所以c整除最小公倍數(shù)與最大公約的差，即c整除a⊙b，
如果c整除a和a⊙b，由c整除a推知c整除a，b的最小公倍數(shù)，
再由c整除a⊙b推知，c整除a，b的最大公約數(shù)，而這個(gè)最大公約數(shù)整除b，
所以c整除b；
（3）因?yàn)?與x的最小公倍數(shù)不小于：27+1=28，不大于：27+6=33，
而28到33之間，只有30是6的倍數(shù)，
可見(jiàn)6和x的最小公倍數(shù)是30，
因此，它們的最大公約數(shù)是30-27=3，
由“兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的積=這兩個(gè)數(shù)的積”，
得到：30×3=6×x，
       6x=90，
       x=15，
所以x的值是15．

點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)定義新運(yùn)算，得出新的運(yùn)算意義，再利用新的運(yùn)算意義和運(yùn)算方法，解答即可．