Question

小明有10元錢，他準(zhǔn)備從明天開始，每天買一包餅干或一包薯片．餅干每包1元，薯片每包2元．問小明花完10元有多少種方法？

Answer 1

考點(diǎn)：篩選與枚舉

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：本題可以看作“登樓梯問題”，即：樓梯共有10級(jí)（10元），每次只能跨上一級(jí)（餅干每包1元）或二級(jí)（薯片每包2元），要登上第10級(jí)，共有多少種不同走法，然后根據(jù)每次跨一級(jí)或兩級(jí)進(jìn)行分情況討論．

解答： 解：把本題可以看作“登樓梯問題”來解答：
1．沒有跨兩級(jí)的情況：每次跨一級(jí)，1種跨法；
2．有一次跨兩級(jí)：需要跨9次，9次中選取一次跨兩級(jí)，即9選1，有9種情況；
3．有兩次跨兩級(jí)：需要8次，8次中選取2次跨兩級(jí)，即8選2，8×7÷（2×1）=28（種），有28種跨法；
4．有三次兩級(jí)：需要跨7次，7次中選取3次跨兩級(jí)，即7選3，7×6×5÷（3×2×1）=35（種），有35種；
5．有四次跨兩級(jí)：需要跨6次，6次中選取4次跨兩級(jí)，即6選4，6×5×4×3÷（4×3×2×1）=15（種），有15種；
6．有五次跨兩級(jí)：有1種跨法．
共計(jì)：1+9+28+35+15+1=89（種）；
答：小明花完10元有89種方法．

點(diǎn)評(píng)：本題先根據(jù)條件轉(zhuǎn)化乘組合的問題，組合問題的公式：n個(gè)中選a個(gè)就有n×（n-1）×（n-2）×…共有a個(gè)的積，再除以a×（a-1）×…×1的積．
本題還可以利用“裴波那契數(shù)列”來解答：
當(dāng)n=1元時(shí)，（1），有：a₁=1種；
當(dāng)n=2元時(shí)，（1，1），（2），有：a₂=2種；
當(dāng)n=3元時(shí)，（1，1，1），（1，2），（2，1），有a₃=1+2=3種；
當(dāng)n=4元時(shí)，（1，1，1，1，），（1，2，1），（2，1，1），（1，1，2）（2，2，），有：2+3=5種；
…
由此可得規(guī)律：下一種的方法數(shù)等于前兩種方法數(shù)的和，即：a_n+2=a_n+1+a_n，
所以，可得排列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89；
答：小明花完10元有89種方法．