Question

17個科學家互相通信，在他們的通信中共討論3個問題，而任意兩個科學家之間僅討論1個問題．證明：至少有3個科學家，他們彼此通信討論的是同一個問題．

Answer 1

分析：完成本題可將17個科學家用17個點代表，兩點之間連接的線段表示兩個科學家之間討論的問題．用三種顏色給這些線段染色，表示三個問題，然后根據(jù)抽屜原理對各種情況進行分析，以此得出結(jié)論．

解答：解：將17個科學家用17個點代表，兩點之間連接的線段表示兩個科學家之間討論的問題．用三種顏色給這些線段染色，表示三個問題，于是問題就變成：給17個點之間的所有連接線段用三種顏色染色，必有同色三角形．從任意一點，不妨設(shè)從A向其他16點A₁，A₂，…A₁₆共可連成16條線段，用三種顏色染色，由抽屜原則可知，必有6條線段同色．設(shè)這6條線段為AA₁，AA₂，AA₆且同為紅色．考慮A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆這六點之間的連線，若有一條為紅色，（如A₁A₂為紅色），則三角形AA₁A₂為紅色的同色三角形．

若這六點之間的連線中，沒有一條是紅色的，則它們之間只能涂兩種顏色．考慮從A₁引出的五條線段A₁A₂A₁A₃A₁A₄A₁A₅A₁A₆，由抽屜原理知，其中必有三條是同色的．不妨設(shè)這三條為A₁A₂A₁A₃A₁A₄，且同為藍色．若三角形A₂A₃A₄的三邊中有一條為藍色的，則有一個藍色的三角形存在；若三角形A₂A₃A₄三邊都不是藍色的，則它的三邊是同為第三色的同色三角形．
所以，至少有3個科學家，他們彼此通信討論的是同一個問題．

點評：完成本題要在了解抽屜原理的基本形式的基礎(chǔ)上進行即：如果把n+1個元素分成n個集合，那么不管怎么分，都存在一個集合，其中至少有兩個元素．