Question

如果一些不同質(zhì)數(shù)的平均數(shù)為21，那么它們中最大的一個(gè)數(shù)可能為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：合數(shù)與質(zhì)數(shù)

專題：數(shù)的整除

分析：首先列出比21小的質(zhì)數(shù)，A={2，3，5，7，11，13，17，19}，要想使最大的質(zhì)數(shù)最大，那么就要用盡量多A中的數(shù)，而盡量少的用A以外的質(zhì)數(shù)，首先說(shuō)明不可能含2，否則21×N=（N-1）個(gè)奇數(shù)+2，驗(yàn)證下無(wú)論N為奇數(shù)偶數(shù)等式都不能成立，3+5+7+11+13+17+19=75，21×7-75=72，其他所有質(zhì)數(shù)都比21大，這意味著其他數(shù)-21≤72，即最大數(shù)≤93，小于93的最大質(zhì)數(shù)是89，驗(yàn)證可知成立：3+5+7+11+13+17+23+89=168=21×8．

解答： 解：小于21的質(zhì)數(shù)：2，3，5，7，11，13，17，19，2+3+5+7+11+13+17+19=77，
所求的數(shù)最大，那么就盡量多的使用這8個(gè)小于21的質(zhì)數(shù)，所有與21的差，都補(bǔ)給最大的那個(gè)數(shù)，
總和為：21×9=189，189-77=112，不是質(zhì)數(shù)，
考慮從這8個(gè)里面去掉一個(gè)，這樣總和就是21×8=168，168-77=91，
91加上原來(lái)8個(gè)數(shù)中的某個(gè)，都不是質(zhì)數(shù)，那就考慮再去掉一個(gè)，總和21×7=147，147-77=70，
70加上原來(lái)8個(gè)數(shù)中的2個(gè)，既然為質(zhì)數(shù)，又不可能是2，那么得到的質(zhì)數(shù)一定是奇數(shù)，需要加上的2個(gè)，必然有一個(gè)是2，
70+2=72，72+19=91，不是質(zhì)數(shù)，
72+17=89，是質(zhì)數(shù)，那么滿足要求的最大質(zhì)數(shù)就是89，驗(yàn)證可知成立：3+5+7+11+13+17+23+89=168=21×8．
故答案為：89．

點(diǎn)評(píng)：解決此題關(guān)鍵是要想使最大的質(zhì)數(shù)最大，那么就要用盡量多21以內(nèi)的數(shù)，而盡量少的用21以外的質(zhì)數(shù)，逐步推出符合條件的最大質(zhì)數(shù)．