Question

如圖，把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D'CE'如圖乙．這時(shí)AB與CD'相交于點(diǎn)O，D'E'與AB相交于點(diǎn)F．（1）求∠OFE'的度數(shù)；（2）求線段AD'的長(zhǎng)．（3）若把三角形D'CE'繞著點(diǎn)C順時(shí)針再旋轉(zhuǎn)30°得△D''CE''，這時(shí)點(diǎn)B在△D''CE''的內(nèi)部、外部、還是邊上？證明你的判斷．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，∠3=15°，∠E′=90°，∠1=∠2=75°，所以，可得∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°；
（2）由∠OFE′=∠120°，得∠D′FO=60°，所以∠4=90°，由AC=BC，AB=6cm，得OA=OB=OC=3cm，所以，OD′=CD′-OC=7-3=4cm，在Rt△AD′O中，利用勾股定理求出即可；
（3）要證點(diǎn)B這時(shí)點(diǎn)B在△D''CE''的內(nèi)部、外部、還是邊上，只要比較CB與CE″的長(zhǎng)短即可確定．

解答：解：（1）如圖，由題意可知∠3=15°，∠E′=90°，
因?yàn)椤?=∠2，
所以∠1=75°．                              
又因?yàn)椤螧=45°，
所以∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°．  
（2）連接AD′．
∠OFE′=120°，∴∠D′FO=60°．
又∠CD′E′=30°，∴∠4=90°．              
AC=BC，AB=6cm，
所以O(shè)A=OB=3cm，
∠ACB=90°，
所以O(shè)C=

1

2

AB=

1

2

×6=3（cm），
又因?yàn)镃D′=7cm，
所以O(shè)D′=CD′-OC=7-3=4（cm）．
在Rt△AD′O中AD′=

OA2+OD′2

=

32+42

=5（cm）．
（3）B在△D''CE''的內(nèi)部
證明：再旋轉(zhuǎn)30°后得∠BCE''=45°∠CE''D''=90° 可知斜邊應(yīng)為：

7

2

2

，而BC的長(zhǎng)度是3

2

，
所以B在△D″CE″的內(nèi)部

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勾股定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能熟練應(yīng)用勾股定理，利用旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形完全相等是解題關(guān)鍵．