Question

將自然數(shù)1、2、3，…依次寫下去組成一個(gè)數(shù)：12345678910111213…，如果寫到某個(gè)自然數(shù)時(shí)，所組成的數(shù)恰好第一次能被72整除，那么這個(gè)自然數(shù)是多少？

Answer 1

分析：72=8×9，8和9互質(zhì)，即這個(gè)自然數(shù)能同時(shí)被8和9整除．因?yàn)槿我?個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和能被9整除，所以任意9個(gè)連續(xù)自然數(shù)所組成的多位數(shù)一定能被9整除．那么，當(dāng)寫到9、18、27、36、45、…時(shí)，能被9整除．因?yàn)?、18、27、36、45、…本身又都是9的倍數(shù)，所以，寫到8、17、26、35、44、…時(shí)也都能被9整除．又因?yàn)楸?整除的數(shù)的特征為末三位所組成的數(shù)能被8整除．因?yàn)?78、718、526都不能被8整除，而536能被8整除，所以這個(gè)自然數(shù)為36．

解答：解：因?yàn)?2=8×9，8和9互質(zhì)，任意9個(gè)連續(xù)自然數(shù)所組成的多位數(shù)一定能被9整除，
則9、18、27、36、45、…時(shí)，能被9整除．
因?yàn)?、18、27、36、45、…本身又都是9的倍數(shù)，
所以寫到8、17、26、35、44、…時(shí)也都能被9整除．
因?yàn)?78、718、526都不能被8整除，而536能被8整除，
所以這個(gè)自然數(shù)為36．
答：這個(gè)自然數(shù)是36．

點(diǎn)評(píng)：考查了數(shù)的整除特征，關(guān)鍵是熟悉任意9個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和能被9整除，被8整除的數(shù)的特征為末三位所組成的數(shù)能被8整除．