Question

設(shè)1，2，3，…，9的任一排列為a₁，a₂，…，a₉．求證：（a₁-1）（a₂-2）…（a₉-9）是一個(gè)偶數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性問題

專題：奇數(shù)偶數(shù)問題

分析：由（a₁-1）+（a₂-2）+（a₃-3）+…+（a₉-9）=（a₁+a₂+…+a₉）-（1+2+…+9）=0是偶數(shù)，可得（a₁-1），（a₂-2），…，（a₉-9）這9個(gè)數(shù)中必定有一個(gè)是偶數(shù)，從而可證明之．

解答： 解：證法一：因?yàn)椋╝₁-1）+（a₂-2）+（a₃-3）+…+（a₉-9）
=（a₁+a₂+…+a₉）-（1+2+…+9）=0是偶數(shù)，
所以（a₁-1），（a₂-2），…，（a₉-9）這9個(gè)數(shù)中必定有一個(gè)是偶數(shù)[否則，便得奇數(shù)個(gè)（9個(gè)）奇數(shù)的和為偶數(shù)]，
從而可知（a₁-1）（a₂-2）…（a₉-9）是偶數(shù)．

證法二：由于1，2，9中只有4個(gè)偶數(shù)，
所以a₁，a₃，a₅，a₇，a₉中至少有一個(gè)是奇數(shù)，
于是，a₁-1，a₃-3，a₅-5，a₇-7，a₉-9至少有一個(gè)是偶數(shù)，
從而（a₁-1）（a₂-2）…（a₉-9）是偶數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了整數(shù)的奇偶性，難度較大，關(guān)鍵是奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和為奇數(shù)進(jìn)行證明．