Question

求證：對于任意的8個自然數，一定能從中找到6個數a，b，c，d，e，f，使得（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍數．

Answer 1

考點：數的整除特征

專題：整除性問題

分析：105=3×5×7，只要證明（a-b）（c-d）（e-f）分別是3、5、7的倍數即可求解；先由抽屜原理，8個自然數中一定有兩個的差能夠被7整除，記為a和b；再考慮剩下的6個數，同理可知其中一定有兩個的差能夠被5整除，記為c和d．再考慮剩下的4個數，同理可知其中一定有兩個的差能夠被3整除，記為e和f，從而得出（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍數．

解答： 解：證明：105=7×5×3
7的剩余系為{0，1，2，3，4，5，6}有7個數
任意8個數必有兩個對于7剩余相同
設為a，b，則7|（a-b）
同理：5的剩余有5個數
剩下8-2=6個數必有兩個對于5剩余相同
設為c，d，則5|（c-d）
對于3的剩余同理可得
有兩個數對3剩余相同
設為e，f，則3|（e-f）
這樣取到了六個數a，b，c，d，e，f，且滿足（a-b）是7的倍數，（c-d）是5的倍數，（e-f）是3的倍數．所以（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍數．證畢

點評：在8個數中一定可以找出兩個數關于7同余，則它們的差就是7的倍數，同理得出剩下的6個數中有5的倍數，3的倍數，從而得解．