Question

已知正整數(shù)n是7與8的公倍數(shù)，n各位上的數(shù)碼全都是7或8，且數(shù)碼7與8各至少有一個．則滿足上述條件的最小n的值為

 

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Answer 1

考點：公約數(shù)與公倍數(shù)問題

專題：整除性問題

分析：因為這個數(shù)是7和8的倍數(shù)．那么就是56的倍數(shù)，也就是112的倍數(shù)，不難看到1000以內找不到符合要求的．我們可以先不管千位以上的數(shù)，因為1000是8的整數(shù)倍．只看后三位數(shù)，7或8組成，且是8的倍數(shù)，那么后三位只能是888．我們可以假定這個最小的數(shù)是1000×n+888．

解答： 解：因為這個數(shù)是7和8的倍數(shù)．那么就是56的倍數(shù)，也就是112的倍數(shù)，不難看到1000以內找不到符合要求的．我們可以先不管千位以上的數(shù)，因為1000是8的整數(shù)倍．只看后三位數(shù)，7或8組成，且是8的倍數(shù)，那么后三位只能是888．
假定這個最小的數(shù)是1000×n+888．因為，這個數(shù)是7的倍數(shù)．888÷7，余數(shù)為6.1000÷7，余數(shù)也為6．所以（1000×n+888）÷7，這個余數(shù)必須是7的倍數(shù)．由于6與7沒有公約數(shù)，所以n+1必須是7的倍數(shù)．而且，n必須是由7或8組成的數(shù)．最小的n為7888．所以這個數(shù)為7888888．
故答案為：7888888

點評：本題屬于難度很大的題目，不僅熟練掌握倍數(shù)概念，而且還需要有很強的推理能力．