Question

我們知道，每個自然數(shù)都有因數(shù)，對于一個自然數(shù)a，我們把小于a的正的因數(shù)叫做a的真因數(shù)．如10的正因數(shù)有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數(shù)．
把一個自然數(shù)a的所有真因數(shù)的和除以a，所得的商叫做a的“完美指標”．如10的“完美指標”是（1+2+5）÷10=

4

5

．
一個自然數(shù)的“完美指標”越接近1，我們就說這個數(shù)越“完美”．如8的“完美指標”是（1+2+4）÷8=

7

8

，10的“完美指標”是

4

5

，因為

7

8

比

4

5

更接近1，所以我們說8比10更完美．
（1）試分別計算5、6、9的“完美指標”；
（2）試找出比10大，比20小的自然數(shù)中，最“完美”的數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)定義的新的運算意義，分別找出5、6、和9的正因數(shù)，再分別找出它們的真因數(shù)，最后再由“完美指標”的意義，列式即可解答；
（2）根據(jù)“完美指標”的意義知道，自然數(shù)的真因數(shù)越多，此數(shù)越完美；因為在11-19的數(shù)中，11、13、17、19是質(zhì)數(shù)，真因數(shù)只有1，所以先排除此三個數(shù)，再分別找出12、14、15、16、18的正因數(shù)，再分別找出它們的真因數(shù)，最后再由“完美指標”的意義，分別求出“完美指標”．

解答：解：（1）5的正因數(shù)有：1，5，其中1是5的真因數(shù)，
完美指標：1÷5=

1

5

，
6的正因數(shù)有：1，2，3，6，其中1，2，3是6的真因數(shù)，
完美指標：（1+2+3）÷6=1，
9的正因數(shù)有：1，3，9，其中1，3是9的真因數(shù)，
完美指標：（1+3）÷9=

4

9

，
（2）12的正因數(shù)有：1、2、3、4、6、12，其中1、2、3、4、6是真因數(shù)，
完美指標：（1+2+3+4+6）÷12=

4

3

≈1.33，
14的正因數(shù)有：1、2、7、14，其中1、2、7是真因數(shù)，
完美指標：（1+2+7）÷14=

5

7

≈0.71，
15的正因數(shù)有：1、3、5、15，其中1、3、5是真因數(shù)，
完美指標：（1+3+5）÷15=

3

5

=0.6，
16的正因數(shù)有：1、2、4、8、16，其中1、2、4、8是真因數(shù)，
完美指標：（1+2+4+8）÷16=

15

16

≈0.94，
18的正因數(shù)有：1、2、3、6、9、18，其中1、2、3、6、9是真因數(shù)，
完美指標：（1+2+3+6+9）÷18=

7

6

≈1.17，
由以上所求的完美指標知道，16的完美指標最接近1，
所以，比10大，比20小的自然數(shù)中，最“完美”的數(shù)是16；
答：5、6、9的“完美指標”分別是

1

5

、1、

4

9

；比10大，比20小的自然數(shù)中，最“完美”的數(shù)是16．

點評：解答此題的關鍵是，根據(jù)所給出的新的運算方法，即完美指標的意義及計算方法，找出對應的數(shù)，列式解決問題．