Question

23個不同的正整數(shù)的和是4845，問這23個數(shù)的最大公約數(shù)可能達到的最大值是多少？

Answer 1

分析：應先把4845分解，找到約數(shù)可能的數(shù)．再設(shè)出最大公約數(shù)，找出23個數(shù)最小值，進而求得最大公約數(shù)．

解答：解：設(shè)23個不同的正整數(shù)的最大公約數(shù)為d，則，
23個不同的正整數(shù)為：da₁、da₂、…、da₂₃為互不相同正整數(shù)，
4845=da₁+da₂+…+da₂₃=d（a₁+a₂+…+a₂₃）
a₁+a₂+…+a₂₃最小為1+2+…+23=（23+1）×23÷2=276，
4845=3×5×17×19，
4845的約數(shù)中，大于276的最小約數(shù)是3×5×19=285，
即：a₁+a₂+…+a₂₃最小為285，
∴最大公約數(shù)d可能達到的最大值=4845÷285=17．
答：這23個數(shù)的最大公約數(shù)可能達到的最大值是17．

點評：本題主要考查了最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是先得到4845可能的約數(shù)，再求得23個數(shù)除去約數(shù)外最小的和．