Question

有一根均勻木棍，先用紅色刻度線將它分成m等份，再用藍(lán)色刻度線將它分成n等份，m＞n．然后按所有刻度線將該木棍鋸成小段，一共可以得到170根長短不一的小棍，其中最長的小棍恰有100根．求m和n．

Answer 1

考點：公約數(shù)與公倍數(shù)問題

專題：整除性問題

分析：首先構(gòu)造出：A=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

m

）（1+

1

m

），B=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

n

）（1+

1

n

），計算出A-B，然后利用整除的性質(zhì)得出m和n的整數(shù)解即可．

解答： 解：A=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

m

）（1+

1

m

），
B=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

n

）（1+

1

n

），
因為A-B=

m+1

2m

-

n+1

2n

=

1

2m

-

1

2n

=

1

26

，
所以

1

m

-

1

n

=

1

13

，
則m=

13n

n+13

=

13(n+13-13)

n+13

=13-

13×13

n+13

，
即n+13是13×13的因數(shù)，
又因為13×13的因數(shù)只有3個：1、13、13×13，
所以n+13=13×13=169，
解得n=156，m=12．

點評：此題主要考查了公約數(shù)和公倍數(shù)問題的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握整除的性質(zhì)．