Question

19．計算：1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+100}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)高斯求和公式S=（首項+末項）×項數(shù)÷2把分?jǐn)?shù)變形，再根據(jù)拆項公式$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$拆項后通過加減相互抵消即可簡算．

解答 解：1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+100}$
=1+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+$\frac{2}{4×5}$+…+$\frac{2}{100×101}$
=1+2×（$\frac{1}{2×3}$$+\frac{1}{3×4}$$+\frac{1}{4×5}$+…$+\frac{1}{100×101}$）
=1+2×（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$+…$+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}$）
=1+2×（$\frac{1}{2}-\frac{1}{101}$）
=1+1-$\frac{2}{101}$
=1$\frac{99}{101}$．

點評 此題比較繁瑣，于是就要尋找簡單的算法．此題解決的關(guān)鍵在于：通過加減相抵消的方法，可簡算出結(jié)果．