Question

【題目】求方程3x＋5y＝31的整數(shù)解。

Answer 1

【答案】

【解析】方法一：利用歐拉分離法，由原方程，得 x＝，即 x＝10－2y＋，要使方程有整數(shù)解必須為整數(shù)．

取y＝2，得x＝10－2y＋＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2

當(dāng)y＝5，得x＝10－2y＋＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5

當(dāng)y＝8，得x＝10－2y＋＝10－16＋3無解

所以方程的解為：

方法二：利用余數(shù)的性質(zhì)

3x是3的倍數(shù)，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根據(jù)這個情況用余數(shù)的和與乘積性質(zhì)進(jìn)行判定為：

取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）

y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合題意）

y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）

y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）

y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合題意）

y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）

當(dāng)y＞6時，結(jié)果超過31，不符合題意。

所以方程的解為：