Question

【題目】如圖，已知長方體 ， ，直線與平面所成角為， 垂直于點(diǎn)， 為的中點(diǎn).

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）線段上是否存在點(diǎn),使得二面角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)，為的中點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）先利用直線與平面所成角為，求得, 以為正交基底建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果；（2）令，則，求出面的一個(gè)法向量，利用（1）中平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：由, 得 與面所成角為， ,由,

（1）以為正交基底建立平面直角坐標(biāo)系，則

， ，設(shè)面的一個(gè)法向量為

答： 與面所成角的正弦值為

（2）令，則

設(shè)面的一個(gè)法向量為，

化簡(jiǎn)得

答：存在點(diǎn)，為的中點(diǎn).

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求線面角與二面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.