Question

【題目】在一個(gè)圓周上有4個(gè)白點(diǎn)、6個(gè)黑點(diǎn)(其中的任何三點(diǎn)均不共線)，由它們能組成：

(1) ______ 條端點(diǎn)顏色不同的線段；

(2) ______ 個(gè)不同的三角形；

(3) ______ 個(gè)至少有1個(gè)黑點(diǎn)的四邊形；

(4) ______ 個(gè)至多有2個(gè)白點(diǎn)的五邊形。

Answer 1

【答案】24；120；209；186

【解析】利用組合數(shù)，大大簡(jiǎn)化了解題過程，但計(jì)數(shù)問題始終離不開分類和分步，要多加體會(huì)。如果直接求解時(shí)分類過多，應(yīng)考慮其反面，這樣常常很“討巧”。

(1)線段由1白1黑組成，有：(條)；

(2)10點(diǎn)中任取3點(diǎn)能組成三角形，有(個(gè))；

(3)本題應(yīng)從“反面”考慮，反面是“有0個(gè)黑點(diǎn)的四邊形”，所有四邊形有個(gè)，故共有：(個(gè))。

若直接從正面考慮，則要分四類：

①1個(gè)黑點(diǎn)(3個(gè)白點(diǎn))，有(個(gè))；

②2個(gè)黑點(diǎn)(2個(gè)白點(diǎn))，有(個(gè))；

③3個(gè)黑點(diǎn)(1個(gè)白點(diǎn))，有(個(gè))；

④4個(gè)黑點(diǎn)(0個(gè)白點(diǎn))，有(個(gè))。

共有24+90+80+15=209(個(gè))。

(4)分三類：

①0個(gè)白點(diǎn)(5個(gè)黑點(diǎn))，有(個(gè))；

②1個(gè)白點(diǎn)(4個(gè)黑點(diǎn))，有(個(gè))；

③2個(gè)白點(diǎn)(3個(gè)黑點(diǎn))，有(個(gè))；

共有6+60+120=186(個(gè))。