Question

20．如圖，正方形ABCD中有一個梯形EFGH，已知這個梯形的上底和下底都平行于正方形的對角線，如果梯形的高是5，面積是30，那么這個正方形的面積為多少？

Answer 1

分析 根據(jù)梯形面積計算公式“S=$\frac{1}{2}$（a+b）h”，梯形的面積及高已知，由此即可求出梯形上、下底之和，即（a+b），由于梯形的上、下底與正方形部分邊組成兩個等腰直角三角形（△AEH和△CGF），根據(jù)等腰三角形的特征，正方形的特征，即可求出正方形的對角線，正方形的面積等于以對角線為底，$\frac{1}{2}$對角線為高的兩個等腰直角三角形，根據(jù)三角形面積計算公式“S=$\frac{1}{2}$ah”即可求出一個三角形的高，進而求正方形的面積．

解答 解：如圖，連結(jié)AC、BD，兩對角線相交于O，對角線交EH于M、交FG于N．

如圖設梯形的上底EH=a，下底FG=b
由梯形的面積公式及已知條件（a+b）×5×$\frac{1}{2}$=30
所以a+b=12
因為梯形上底和下底平行于正方形的對角線BD，正方形兩對角線互相垂直
所以eh⊥AC，fg⊥AC
故△AEH和△CGF均為等腰直角三角形
所以AM=MH=$\frac{a}{2}$，CN=NG=$\frac{2}$
所以對角線AC=AM+MN+NC=$\frac{a}{2}$+5+$\frac{2}$=（a+b）×$\frac{1}{2}$2+5=12×$\frac{1}{2}$+5=11
因此正方形的面積=11×$\frac{11}{2}$×$\frac{1}{2}$×2=60.5

點評 按照通常求正方形面積的方法，邊長乘邊長，無求出該正方形面積．只有根據(jù)梯形面積計算公式及已知條件求出梯形上、下底之和，即（a+b），再根據(jù)等腰三角形的特征，正方形的特征，即可求出正方形的對角線，然后再求三角形面積．