Question

6．給出一個(gè)自然數(shù)n，n的約數(shù)個(gè)數(shù)用A（n）表示，n的約數(shù)和用B（n）表示．
（1）求 A（42），B（42）．
（2）求A（n）=8，最小的自然數(shù)n的幾？
（3）若A（n）=2，問n一定是怎樣的數(shù)？

Answer 1

分析 求約數(shù)的公式：相同質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)+1相乘．
（1）比如，42=2×3×7，有1個(gè)2，1個(gè)3，1個(gè)7，約數(shù)個(gè)數(shù)為（1+1）×（1+1）×（1+1）=8，其約數(shù)分別為1、2、3、7、6、14、21、42，其和為96．所以，A（42）=8，B（42）=96．
（2）8可以表示為4×2和2×2×2，但要求數(shù)最小，所以，取4×2．這樣，盡量選擇小的質(zhì)數(shù)，即2×2×2×3=24，n=24．
（3）一個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)有2個(gè)，一定是質(zhì)數(shù)，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)的定義就是只有1和它本身．

解答 解：（1）42=2×3×7，有1個(gè)2，1個(gè)3，1個(gè)7，約數(shù)個(gè)數(shù)為（1+1）×（1+1）×（1+1）=8，
其約數(shù)分別為1、2、3、7、6、14、21、42，其和為96．
所以，A（42）=8，B（42）=96．

（2）8=4×2=2×2×2，但要求數(shù)最小，所以，取4×2．
這樣，盡量選擇小的質(zhì)數(shù)，
即2×2×2×3=24，
所以n=24．

（3）A（n）=2，即一個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)有2個(gè)，一定是質(zhì)數(shù)，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)的定義就是只有1和它本身．所以n一定是質(zhì)數(shù)．

點(diǎn)評 掌握求約數(shù)公式，是解答此題的關(guān)鍵，同時(shí)還要知道知識點(diǎn)：一個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)有2個(gè)，一定是質(zhì)數(shù)．