Question

10．已知O（0，0），M（2，0），N（1，0），動點P滿足：$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\sqrt{2}$；若|$\overrightarrow{OC}$|=1，在P的軌跡上存在A，B兩點，有$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0成立，則|$\overrightarrow{AB}$|的取值范圍是[$\sqrt{3}-1$，$\sqrt{3}+1$]．

Answer 1

分析 先求出P的軌跡方程，再由題意：|$\overrightarrow{OC}$|=1，看成是以圓心（0，0）半徑為r=1的圓，在圓O上存在A，B兩點，有$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0成立，即過圓x²+y²=1同一點的兩條直線相互垂直圓x²+y²=2交點A，B兩點，即可求AB的距離．

解答 解：設P（x，y），則
∵M（2，0），N（1，0），動點P滿足：$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\sqrt{2}$，
∴（x-2）²+y²=2（x-1）²+2y²，
∴x²+y²=2；
由題意：|$\overrightarrow{OC}$|=1，看成是以圓心（0，0）半徑為r=1的圓，在圓O上存在A，B兩點，有$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0成立，即過圓x²+y²=1同一點的兩條直線相互垂直，
與圓x²+y²=2交點A，B，A₁，B₁點，如圖所示，|AB|為最大值，|A₁B₁|為最小值．C為圓上的動點，設C（1，0），可得直線AB₁的方程為y=-x+1，
直線A₁B的方程為y=x-1，
圓x²+y²=2交點A，B，A₁，B₁點，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$
解得A（$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$），B₁（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$）
根據(jù)對稱性：|AB|的最大值$\sqrt{3}+1$，|A₁B₁|的最小值$\sqrt{3}-1$．
故答案為：[$\sqrt{3}-1$，$\sqrt{3}+1$]．

點評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關系、向量的坐標運算，考查了數(shù)形結合的思想方法，利用特殊點求解．屬于中檔題．