Question

19．如圖所示的幾何體是由10個(gè)相同的小正方體木塊搭建的，已知小正方體的棱長(zhǎng)為1cm．
（1）該幾何體的體積是10cm³，表面積是36cm²．
（2）如果在原圖的基礎(chǔ)上繼續(xù)搭建，使搭建后的幾何體構(gòu)成一個(gè)大正方體，那么至少還需要17個(gè)小正方體．
（3）仔細(xì)觀察該幾何體的排列規(guī)律，請(qǐng)你猜想，按照這種方法繼續(xù)搭建若干層，若幾何體共四層，則小正方體共有10個(gè)；若某層的小正方體共有28個(gè)，則該層是第7層．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方體的體積公式，得到一個(gè)小正方體的體積是1×1×1=1立方厘米，10個(gè)相同的小正方體的體積是1×10=10立方厘米；根據(jù)一個(gè)正方體有6個(gè)面，從6個(gè)方向觀察這個(gè)幾何體，每個(gè)方向的面積都是1+2+3=6個(gè)正方形，即6平方厘米，總表面積為6×6=36平方厘米；
（2）若繼續(xù)搭建，搭建后的幾何體構(gòu)成一個(gè)大正方體，長(zhǎng)款高都是3個(gè)小正方體，共需要3×3×3=27個(gè)小正方體，那么至少還需要27-10=17個(gè)；
（3）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)第一層有1個(gè)；第二層有3個(gè)，3=1+2；第三層有6個(gè)，6=1+2+3；以此類(lèi)推，第四層有1+2+3+4=10個(gè)；…第n層有1+2+3+4+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$個(gè)；$\frac{7×8}{2}$=28，n=7，據(jù)此得解．

解答 解：（1）1×1×1×10=10（立方厘米）
（1+2+3）×6=36（平方厘米）
答：該幾何體的體積是 10cm³，表面積是 36cm²．

（2）3×3×3-10
=27-10
=17（個(gè)）
答：至少還需要 17個(gè)小正方體．

（3）1+2+3+4=10（個(gè)）
1+2+3+4+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$
$\frac{7×8}{2}$=28，
n=7（層）
答：若幾何體共四層，則小正方體共有10個(gè)；若某層的小正方體共有28個(gè)，則該層是第7層．
故答案為：10，36，17，10，7．

點(diǎn)評(píng) 解決此題的關(guān)鍵是找出小正方體的排列規(guī)律．